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sábado, 31 de diciembre de 2011


Un Feliz y Venturoso año 2012.
Por cierto, el año 2012 es bisiesto.
El año bisiesto se introdujo para sincronizar nuestro calendario y el movimiento orbital en Roma, bajo el mando de Julio César, asesorado por el matemático y astrónomo Sosígenes de Alejandría. César decidió que, en el calendario juliano (llamado así en su honor), uno de cada cuatro años tendría 366 días, uno más que los años comunes. De esta manera se aseguraba de que los meses del año seguían el ritmo de las estaciones. En principio, el día "extra" del año bisiesto se intercaló entre los días que hoy corresponden al 23 y el 24 de febrero.
Tomado de Muy Interesante http://www.muyinteresante.es/cuando-existen-los-anos-bisiestos?
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domingo, 27 de febrero de 2011

FACTORIZACIÓN (Parte III)

Se recomienda ver también:
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS
Caso 1: Utilización de producto notable 1
En este caso, el polinomio se puede expresar como el producto de los binomios $x+a$ y $x+b$, siempre que cumplan las siguientes condiciones para los números "$a$" y "$b$", descritas en el siguiente ejemplo:  
Sea el trinomio  $x^2+3x-28$. Veamos que es del tipo producto notable 1
Para ello,  deben cumplir las condiciones: 
  • $a.b=-28$, su producto sea $-28$ y 
  • $a+b=3$, la suma sea $3$. 
Observe que los números que cumplen con las condiciones anteriores son $-4$ y $7$. 
En efecto, $-4.7=-28$ y $-4+7=3$
Luego, 
$x^2+3x-28=(x-4)(x+7)$

Caso 2: Utilización del producto notable 2, denominado trinomio cuadrado perfecto.
En este caso, se debe cumplir que: 

  • El trinomio debe contener dos términos que sean cuadrados perfectos,y 
  • El otro termino debe ser el producto de la raíces cuadradas de los términos cuadrados perfectos. 
Por ejemplo; el trinomio $16x^2+40x+25$ es del tipo producto notable 2.
Observe que:
  • Los términos $16x^2$ y $25$, que son cuadrados perfectos, es decir, los podemos expresar como $(4x)^2$ y $5^2$, respectivamente. 
  • La raíces cuadradas de los términos cuadrados perfectos son $4x$ y $5$.
  • Además, el término central, $40x$, es producto de $2.(4x)(5)$
Luego, cumple las características para la factorización del trinomio cuadrado perfecto: 
$16x^2+40x+25=(4x+5)^2$
Caso 3: Utilización del producto notable 4.
Para esta factorización se requiere de la técnica del tanteo.
Veamos con un ejemplo: $15x^2+7xy-2y^2$
Para expresar el polinomio anterior como el producto de $(ax+by)(cx+dy)$, se debe:
  • Hallar dos números "$a$" y "$c$" cuyo producto sea $15$
  • Hallar dos números "$b$" y "$d$" cuyo producto sea $-2$
  • La suma "$ad+bc$" sea 7. 
  • Utilizar le técnica del tanteo, en este caso, si "$a$" y "$c$" son positivos, las posibilidades son $1$ y $15$ ó $3$ y $5$. 
  • Igualmente, las posibilidades para "$b$" y "$d$" son $1$ y $-2$ ó $-1$ y $2$. 
Finalmente, se obtiene el término central $7xy$, y se tiene:
$15x^2+7xy-2y^2=(3x+2y)(5x-y)$
FACTORIZACIÓN POR SUMAS Y DIFERENCIAS DE CUBOS
Para factorizar la suma de dos cubos se utiliza la formula:
$x^3+y^2=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
Mientras que para factorizar la diferencia de dos cubos se usa la fórmula: 
 $x^3-y^2=(x-y)(x^2+xy+y^2)$
Ejemplo:
El binomio $27-b^3$ es la diferencia de los cubos $3^3$ y $b^3$. Por tanto:
$27-b^3=3^3-b^3$
$=(3-b)(3^2+3b+b^2)$
$=(3-b)(9+3b+b^2)$
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FACTORIZACIÓN (Parte II)

FACTORIZACIÓN POR UN FACTOR MONOMIAL COMÚN.
Este método consiste en expresar el polinomio como producto de un factor monomial común utilizando la propiedad distributiva. 
En este caso, el polinomio puede escribirse como el producto del factor monomial común y el cociente de dividir el polinomio dado entre el factor común.
Por ejemplo, "$a$" es el factor monomial común de cada uno de los términos del trinomio $ax+ay+az$, por tanto,
     $ax+ay+az= a(x+y+z)$
FACTORIZACIÓN POR DIFERENCIA DE CUADRADOS.
En este caso, el binomio se expresa como la diferencia de dos cuadrados, aplicando el producto notable 3. 
Ejemplo: 
El binomio $x^2-9$, es la diferencia de los cuadrados $x^2$ y $3^2$, por lo tanto, 
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
Vea también: 
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FACTORIZACIÓN (Parte I)

La factorización es el proceso matemático que consiste en expresar un número (o un objeto como una matriz o un polinomio)  como producto de otros números u objetos llamados factores, tal que el producto de los factores resulte el numero (objeto) original.
El Teorema fundamental de la aritmética describe la factorización de los números enteros, mientras que el Teorema Fundamental del álgebra explica la factorización de polinomios.
FACTORIZACIÓN NUMÉRICA
Antes de revisar la factorización de polinomios, revisemos la factorización numérica de los números naturales. 
Un numero natural es primo si se expresa como factores numéricos de si mismo y el 1.
Si el número natural no es primo, entonces es compuesto. Se dice que un numero compuesto está en forma completamente factorizada cuando se expresa como producto de sus factores primos. 
Por ejemplo: 
$120=4.30$
$=(2^2)(5.6)$
$=(2^2)(5.2.3)$
$=2^3.5.3$  
FACTORIZACIÓN POLINÓMICA 

Análogamente, la factorización de un polinomio es el proceso de obtener los factores de dicho polinomio. 
Se dice que un polinomio con coeficientes enteros es primo, cuando no tiene factores monomios o polinomios excepto a sí mismo y 1. 
Asimismo, un polinomio con coeficientes enteros está en su forma completamente factorizada cuando cada uno de sus factores polinomiales es primo. 
Por ejemplo: 
En la factorización $x^2-36=(x-6)(x+6)$, se tiene que $x-6$ y $x+6$  son factores del polinomio $x^2-36$
Vea también: 
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sábado, 26 de febrero de 2011

PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables, son aquellos productos de polinomios que por su estructura son de inmediato reconocimiento y es posible conocer el resultado sin necesidad de efectuar la operación de multiplicación. Estos productos especiales son de utilidad para el proceso de factorización de polinomios.   
Llamaremos variables a las letras "$x$" y "$y$", mientras que "$a$", "$b$" y "$c$" son constantes.
PRODUCTO NOTABLE 1
$(x+a).(x+b)=x^2+(a+b).x +a.b$  
Ejemplo 1: 
$(x+8).(x+3)=x^2+(8+3)x +8.3$ 
$=x^2+11x +24$
Observe que se aplica el producto notable 1 con "$a=8$" y "$b=3$"  

PRODUCTO NOTABLE 2
$(x+y)^2=x^2+2.x.y+y^2$  
Ejemplo 2:
$(x+8)^2=x^2+2.x.(8)+8^2$   
$=x^2+16x+64$

Ejemplo 3
$(2z+5y)^2=(2z)^2+2.(2z).(5w)+(5w)^2$   
$=4z^2+20zw+25w^2$
En este caso, se tiene que "$x=2z$" y "$y=5w$"  


PRODUCTO NOTABLE 3

$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$  

Ejemplo 4:
En este ejemplo veamos que "$x=3u$" y "$y=4z$"  

$(3u+4z)(3u-4z)=(3u)^2-(4z)^2=9u^2-16z^2$  

PRODUCTO NOTABLE 4
$(ax+by)(cx+dy)=a.c.x^2+(ad+bc)x.y+b.dy^2$  
Ejemplo 5:

$(5x-2y)(3x+6y)=(5.3)x^2+(5.6+(-2)(3)x.y+[(-2).(6)].y^2$  
$=15x^2+(30-6)x.y+(-12).y^2$ 
$=15x^2+24x.y-12y^2$ 
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martes, 25 de enero de 2011

TEOREMAS DE LIMITE

Sea $f$ una función definida en un intervalo $I\subset R$, tal que $a\in I$.

Teorema 1. (Funciones iguales).

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=M$, entonces $L=M$.

Teorema 2.

Si $m$ y $b$ son dos constantes cualquiera, entonces $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{(mx+b)}=m.a+b$

Teorema 3.(Límite de una constante)

$\displaystyle\lim_{x \to{a}}{c}=c$, para cualquier real $a$, cuando $c$ es una constante.

Teorema 4.(Límite obvio)

Si $a$ es un número real, entonces $\displaystyle\lim_{x\to{a}}{x}= a$

Teorema 5.(Límite de una suma)

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=M$, entonces
$\displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)\pm g(x)]}=L\pm M$

Teorema 6.(Límite de un producto)

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=M$, entonces
$\displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)\times g(x)]}=L\times M$

Teorema 7.(Límite de un cociente)

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$, $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=M$ y $M\ne 0$, entonces $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{L}{M}$

Teorema 8.

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $n$ es cualquier entero positivo, entonces $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)]^n}=L^n$

Teorema 9.

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $n$ es cualquier entero positivo, entonces $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\sqrt[n]{f(x)}}=\sqrt[n]{L}$
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DEFINICION FORMAL DEL CONCEPTO DE LIMITE

En una oportunidad se revisó la idea intuitiva del concepto de límite.
En el ejemplo, se analizó el comportamiento de la función $f$ definida por
$$f(x)=\frac{2x^2+x-3}{x-1}$$ en torno al valor $x=1$, vale decir, "cercanos a 1", pero "no iguales a 1".
En resumen:
  1. Se observó la posibilidad de hacer que el valor de $f(x)$ se aproxime a $5$, tanto como se quiera, tomando los valores de $x$ cercanos a $1$.
  2. Este hecho se expresó como: $$\displaystyle\lim_{x \to 1 }{f(x)}=5$$.
El aspecto 1, se puede enfocar también como la posibilidad de hacer el valor absoluto de la diferencia entre $f(x)$ y $5$ tan pequeño como se quiera, logrando que el valor absoluto de la diferencia entre $x$ y $1$ sea suficientemente pequeño.

Es decir,$$\left |{f(x)-5}\right |$$ se puede hacer tan pequeño como se quiera, siempre que $$\left |{x-1}\right |$$ sea suficientemente pequeño, pero no igual a cero, esto es, observando que $x\neq 1$

Veamos la siguiente tabla de resultados: 
Para precisar estas diferencias, se utilizaran la letras griegas $\epsilon$ (épsilon) y $\delta$ (delta), de la siguiente manera:
  • $\epsilon$ será el número real positivo que indique que tan pequeño se quiere hacer el valor absoluto de la diferencia entre $f(x)$ y $5$
  • $\delta$ será el número real positivo que indique que tan pequeño se quiere hacer el valor absoluto de la diferencia entre $x$ y $1$
Con esta observación, se dice entonces que $$\left|{f(x)-5}\right|$$ será menor que $\epsilon$, siempre que $$\left|{x-1}\right |$$ sea menor que $\delta$, considerando que $$\left|{x-1}\right|\neq 0$$
  • La elección de $\epsilon$ es arbitraria, pero $\delta$ se obtiene a expensas de $\epsilon$
  • Para cada $\epsilon$ se requiere que existe un $\delta$ especifico
  • Mientras más pequeño sea el $\epsilon$ elegido, más pequeño será el $\delta$, correspondiente.
En el ejemplo se tiene que:
$$\displaystyle\lim_{x \to 1 }{f(x)}=5$$, dado que para cada $\epsilon \succ 0$, existe un $\delta\succ 0$, tal que $$\left|{f(x)-5}\right|\prec\epsilon$$, siempre que $0 \prec\left|{x-1}\right |\prec\delta$
En general, para un función $f$ cualquiera, el $$\displaystyle\lim_{x\to c }{f(x)}=L$$,
significa que la diferencia entre $f(x)$ y $L$ puede hacerse tan pequeña como se quiera, haciendo que $x$ tome valores lo suficientemente cercanos a $c$, con la resticción de que $x$ sea distinto de $c$

DEFINICIÓN FORMAL DE LIMITE
Sea $f$ una función definida en un intervalo $I\subset R$, tal que $c\in I$.
Se dice que el límite de $f(x)$ es $L$ cuando x tiende a $c$, si para todo número positivo $\epsilon$ existe un número positivo $\delta$ tal que $f(x)$ está definido y se cumple el siguiente enunciado
$$\left|{f(x)-L}\right|\prec\epsilon$$, siempre que $0 \prec\left|{x-c}\right |\prec\delta$.
De manera abreviada, se puede escribir
$$\displaystyle\lim_{x \to c }{f(x)}=L$$
también:
$$f(x)\rightarrow{L}$$ cuando $$ x\rightarrow{c}$$.  
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APROXIMACION GRAFICA DEL CONCEPTO DE LIMITE

En las siguientes gráficas, se puede observar que para calcular $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}$, es decir, el limite de una función $f(x)$, cuando $x$ tiende al valor c, no es necesario que la función esté o no definida en c, lo que interesa es que $f$ esté definida en las cercanías de $c$.
  • Caso 1.La función $f$ está definida para "todos" los valores alrededor de un número "$c$", incluso en el punto $c$ mismo.
Aunque no es necesario que la función esté definida incluso en mismo, se observa que cuando $x\rightarrow{c}$, entonces, $f(x)\rightarrow{L}$, es decir, cuando "x tiende a c", entonces "f(x) se aproxima al número L". 
En este caso, se dice que el límite exite y se escribe como: $\displaystyle\lim_{x \to c }{f(x)}=L$ 
  • Caso 2.En este ejemplo, la función f no está definida para x=c.
Aunque $f(c)\neq L$, se tiene que $f(x)\rightarrow{L}$, para los valores de x cercanos a c.
Al igual que el caso anterior, el límite existe y se puede escribir: $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}=L$

  • Caso 3.En este caso, cuando "x tiende a c" por la derecha, la función "tiende a S", mientras que;cuando "x tiende a c" por la izquierda, la función "tiende a R".
  • Esto es, cuando $x\rightarrow{c^+}$, entonces $f(x)\rightarrow{S}$, pero cuando $x\rightarrow{c^-}$, entonces $f(x)\rightarrow{R}$.
En este caso, la función no tiende a un mismo valor cuando x se acerca a c, en consecuencia $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}$, no existe.
  • Caso 4.En este ejemplo, cuando "x tiende a c" por la derecha la función toma valores positivos cada vez mayores, mientras que cuando "x tiende a c" por la izquierda, la función toma valores positivos cada vez menores.
  • Esto es, cuando $x\rightarrow{c^+}$, entonces $f(x)\rightarrow{+\infty}$, pero cuando $x\rightarrow{c^-}$, entonces $f(x)\rightarrow{-\infty}$.
De lo anterior se deduce que la función no tiende a ningun número real fijo, cuando se acerca a c, en consecuencia $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}$, no existe.
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IDEA INTUITIVA DEL CONCEPTO DE LIMITE

En este apartado, se presentará intuitivamente el concepto de límite evaluando la función real de variable real cerca de un punto.
Considere la función f definida por:
$$f(x)=\frac{2x^2+x-3}{x-1}$$
Se observa que la función está definida para todo número real, excepto para $x=1$
Interesa observar el comportamiento de la función $f$ para los valores de $x$, "cercanos a 1", pero no iguales a 1. Esto es, los valores de $x$ "menores que 1" ($x$ por la izquierda de 1) y los valores de $x$ "mayores que 1" ($x$ por la derecha).
Las siguientes tablas muestran algunos resultados:
En ambas tablas se observa que, conforme "x se aproxima al valor 1", por la derecha y por la izquierda, la función $f(x)$, toma valores cada vez, "más cercanos a 5".
Esto es, en la medida que se restringe el dominio de la función a valores "cercanos a 1", el conjunto de imágenes (o valores que toma la función) "se acerca cada vez más a 5".
El hecho de que:
  • "x se acerque o aproxime a 1", se simboliza como:$x\rightarrow{}1$, 
  • "f(x) tiende a 5", se simboliza como $f(x)\rightarrow{}5$
Utilizando la notación de límite se escribe:
$\displaystyle\lim_{x \to 1 }{f(x)}=5$
Lo anterior se lee: "el límite de la función, cuando x tiende a 1, es igual a 5. 
La siguiente gráfica, corresponde a la función f, alli se puede observar que conforme x toma valores cercanos a 1, el valor de la función, f(x), se aproxima a 5.

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GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMICA

FUNCIÓN LOGARITMICA.
La función logaritmica se define como $f(x)=log_a(x)$, donde $"a"$ es la base, y es un número real mayor que la unidad, esto es
$a\in{\mathbb{R}}, \:\: a\succ 1$
  • $Dom_f=\mathbb{R}^+$.
  • $Rgo_f=\mathbb{R}$.
  • Su representación gráfica depende del valor de $"a"$, para lo cual se distinguen dos casos:i) $0<a<1$ y ii) $a>1$.
Cuando:
  • $log_ax$ aumenta a medida que la variable $x$ aumenta.
  • $log_ax$ es positivo, cuando $ x\succ 1$
Cuando:
  • $log_ax$ disminuye a medida que la variable $x$ aumenta.
  • $log_ax$ es negativo, cuando $0 < x < 1$.
Además:
  • $log_ax$ no está definido cuando $x$ no es positivo.
  • $log_ax=0$, si y sólo si $x=1$.
  • $log_ax=1$, si y sólo si $x=a$.
  • Si $b\succ 0$,la variable $log_ax$, disminuye cuando la variable $x$ aumenta.
  • Si $>0 \prec b\prec 1$, la variable $log_ax$aumenta , cuando la variable x aumenta
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GRAFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

FUNCIÓN EXPONENCIAL.
La función exponencial se define como $f(x)=a^x$, donde $"a"$ es un número real positivo distinto de de la unidad, esto es
$a\in{\mathbb{R}}, \:\: a\neq 1, \:\: a\succ {0}$
  • $Dom_f=\mathbb{R}$.
  • $Rgo_f=\mathbb{R}^+$.
  • Su representación gráfica depende del valor de $"a"$, para lo cual se distinguen dos casos:i) $0<a<1$ y ii) $a>1$.
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GRAFICA DE LA FUNCION RAIZ CUADRADA

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA.
La función raíz cuadrada se define como $f(x)=\sqrt[]{a}$
  • $Dom_f=\mathbb{R}^+\cup\left\{{0}\right\}$.
  • $Rgo_f=\mathbb{R}^+\cup\left\{{0}\right\}$.
  •  Su representación gráfica es como la siguiente:
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GRAFICA DE LA FUNCION VALOR ABSOLUTO

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.
La función valor absoluto se define como $f(x)=\left |{\:x\:}\right |$, donde
$$f(x)= \left\{ \begin{array}{} x, x\geq 0\\ -x, x\prec{0}\end{array}{}\right $$
  • El dominio de definición es el conjunto de los números reales.
  • El rango de f corresponde al conjunto de los números reales no negativos, vale decir, al intervalo $\left[{0, \:+\infty}\right)$. 
  • Su representación gráfica consiste en dos semi rectas que pasan por el origen y están por encima del eje x.
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GRAFICA DE LA FUNCION CUADRATICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA.
La función cuadrática se define como $f(x)=ax^2+bx+c$, donde $a,\:b,\:c\in{\mathbb{R}, \:a\neq{0}}$
  • El dominio de definición es el conjunto de los números reales. 
  • Su representación gráfica es una parábola con eje vertical y vértice $$\left({h,k}\right)=\left({-\frac{b}{2a},\:c-\frac{b^2}{4a}}\right)$$.
  • Si $a>0$, la parábola se abre hacia arriba, y $Rgo_f=\left[k,+\infty\right)$.
  • Si $a<0$, la parábola se abre hacia abajo, y $Rgo_f=\left(-\infty,k\right]$.
  • El corte de la grafica con el eje $"y"$, ocurre en el punto $(0, c)$
  • El corte de la grafica con el eje $"x"$, depende de los valores de la ecuación :
$f(x)=ax^2+bx+c$.
Cuando la ecuación tiene dos soluciones (raices) reales y distintas,
$x_1\neq x_2$
la grafica corta al eje $"x"$ en los puntos:
$\left({x_1,0}\right)$ y $\left({x_2,0}\right)$
  • Si la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales,
    $x_1 = x_2$
    la grafica interseca al eje "x" en el punto: 
$\left({x_1,0}\right)$
  • Si la ecuación no tiene soluciones reales, la grafica no corta al eje real "x".
 
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TECNICA PARA GRAFICAR FUNCIONES ELEMENTALES

Trazar la gráfica de una función, consiste en mostrar las características esenciales de la función en un plano coordenado.
Generalmente, se localizan algunos puntos que determinan su representación gráfica.
Pasos para trazar la gráfica de una función:
  1. Identificar el tipo de función.
  2. Determinar el dominio de la función.
  3. Determinar el corte con el eje $x$. Para esto, se resuelve la ecuación $y=f(x)$, considerando $y=0$.Esto es, $f(x)=0$, se despeja la variable $x$ y se obtiene el punto $(x,0)$.
  4. Determinar el corte con el eje $y$. Para esto se resuelve la ecuación $y=f(x)$, considerando $x=0$.Esto es, $f(0)=y$, se despeja la variable $y$, y se obtiene el punto $(0,y)$.
  5. Elegir algunos valores $(x)$ del dominio y evaluar cada $x$ en la función $f(x)=y$, para obtener los respectivos valores $y$.Es recomendable organizar estos datos en una tabla como la siguiente: 
  6. $x$
    $y = f(x)$
    Pares ordenados $(x,y)$
    Representar cada par ordenado en el plano cartesiano.
  7. Trazar la gráfica de la función según su identificación.
  8. Determinar el rango de la función.
El siguiente enlace contiene información acerca de la representación gráfica de funciones elementales
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GRAFICA DE LA FUNCION LINEAL

FUNCIÓN LINEAL.
La función $f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}$ definida como:$f(x)=ax+b$, donde $a, b\in{\mathbb{R},\:a\neq{0}}$, se denomina función lineal o afín.
  • Tanto el dominio como el rango de definición, de $f$, es el conjunto de los números reales.
  • Su representación gráfica es una línea recta oblicua cuya inclinación depende del valor de a. $(a>0, a<0)$.
  • El valor de $"a"$ se conoce conoce como la pendiente de la recta.
  • Cuando $a>0$, el grafico de la recta es creciente
  • Cuando $a<0$, el grafico de la recta es decreciente.
  • El corte de la grafica con el eje vertical $"y"$, lo representa el punto $(0, b)$. Esto es consecuencia de resolver $f(x)=ax + b$, para $x=0$.
  • El corte de la grafica con el eje horizontal $"x"$, lo representa el punto $(\frac{-b}{a}, 0)$. Esto es consecuencia de resolver $f(x)=0$, es decir, $ax + b=0$.
  • Por geometría, una recta se determina con solo dos punto, por ello, para graficar la función lineal es suficiente calcular sólo dos puntos que le pertenezcan. Generalmente se calcula los puntos: $(0, b)$ y $(\frac{-b}{a}, 0)$.


Caso b=0
La función definida como $f(x)=ax$,donde $a\:\in{\mathbb{R}}$, es un caso particular de la función lineal, donde $b=0$.
  • Tanto el dominio como el rango de definición, de $f$, es el conjunto de los números reales.
  • Su representación gráfica es una línea recta que pasa por el origen $(0,0)$, y su inclinación, sabemos que depende del valor de a.
  • Cuando $a=1$, (pendiente es 1), estamos en el caso de la función identidad definida como $f(x)=x$
Caso a=0


La función definida como $f(x)=b$,donde $b\:\in{\mathbb{R}}$, se conoce como función constante, es también lineal, pero donde $a=0$.
  • El dominio de definición es el conjunto de los números reales.
  • El rango de $f$ coincide con el valor real $b$, esto es $Rgo_f=\left\{{b}\right\}$, vale decir, el rango es el conjunto cuyo unico elemento es $b$.
  • Su representación gráfica es una línea recta paralela al eje $x$, que interseca el eje $"y"$ en el punto $(0,b)$
  • El valor $a=0$ indica que la recta no tiene inclinación.
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COORDENADAS RECTANGULARES

PRODUCTO CARTESIANO.
Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos. Llamaremos producto cartesiano de $A$ y $B$, denotado por $A\times{B}$, al conjunto cuyos elementos son de la forma (a,b), tal que $a\in A$, $b\in B$. En símbolos:$A\times{B}=\left\{{\left(a,b\right): a\in A, b\in B}\right\}$
Supongase que $A={1,2,3}$ y $B={1,2}$. El producto cartesiano se representa como
$A\times{B}=\left\{{\left(1,1\right),\:\left(1,2\right),\:\left(2,1\right),\: \left(2,2\right),\: \left(3,1\right),\: \left(3,2\right)}\right\}$.
PARES ORDENADOS.
Los elementos $(a,b)$ del conjunto $A\times{B}$, se denominan pares ordenados, y reciben este nombre dado que si:
$a\in A$; $b\in B$; $a\neq b$
entonces
$\left(a,b)\neq\left(b,a)$
En el ejemplo anterior,
$\left(1,2)\neq\left(2,1)$
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
Así como los números reales se pueden asociar a cada punto de la recta real, (espacio unidimensional) también el conjunto $\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}$, vale decir, los pares ordenados, se pueden representar en un sistema denominado de coordenadas rectangulares (espacio bidimensional).
Un sistema de coordenadas rectangulares consiste en un par de rectas , una vertical (eje y) y otra horizontal (eje x), perpendiculares entre si y graduadas, cuya intersección es el punto O=(0,0), denominado origen. Estas rectas dividen al plano en cuatro sectores, denominados cuadrantes.
Cada cuadrante se enumera como I, II, III y IV.
Este sistema también se conoce como plano cartesiano y permite asociar a cada par ordenado (x,y) de números reales, su correspondiente punto en el plano.

Se dice que cada punto (a,b)  del plano tiene coordenadas a y b, donde (a) es la abscisa y (b) es la ordenada.
Por ejemplo, el punto (-3, 1), tiene coordenadas -3 y 1.
Además -3 es la abscisa y 1 es la ordenada.
Las coordenadas de un punto son positivas o negativas, segun el cuadrante que ocupen.
Por ejemplo, sean x, y las coordenadas de un punto P, entonces si:
  • P está en el primer cuadrante, x >0, y>0.
  • P está en el segundo cuadrante, x<0, y>0.
  • P está en el tercer cuadrante, x<0, y<0.
  • P esta en cuarto cuadrante, x>0, y <0. 
A cada punto P del plano se le asocia exactamente un par ordenado de números reales (a,b) y a cada par ordenado de números reales se asocia exactamente un punto del plano. 
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GRAFICA DE FUNCIONES


GRÁFICA DE FUNCIONES.
La representación gráfica de una función f, se fundamenta en el concepto de función como el conjunto de pares ordenados de números reales.
Basados en esta definición, se puede decir que: 
Si $f$ es una función, entonces, la grafica de $f$ es el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ en $\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}$ para los que $(x,y)$ es un par ordenado de $f$.
Esto es:
$grafica f =\left\{{\left(x,y\right)\in{\mathbb{R}^2}/ x\in{Dom_f}\wedge\:y=f(x)}\right\}$
  • La gráfica de una función sólo puede ser cortada por un recta vertical en un punto.
Por ejemplo, la función definida como:
$f=\left\{{(-1,3), (2,-1), (0,0), (5,4), (2,3)}\right\}$,
se representa graficamente como:

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