APROXIMACION GRAFICA DEL CONCEPTO DE LIMITE

En las siguientes gráficas, se puede observar que para calcular $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}$, es decir, el limite de una función $f(x)$, cuando $x$ tiende al valor c, no es necesario que la función esté o no definida en c, lo que interesa es que $f$ esté definida en las cercanías de $c$.

• Caso 1.La función $f$ está definida para "todos" los valores alrededor de un número "$c$", incluso en el punto $c$ mismo.

Aunque no es necesario que la función esté definida incluso en c mismo, se observa que cuando $x\rightarrow{c}$, entonces, $f(x)\rightarrow{L}$, es decir, cuando "x tiende a c", entonces "f(x) se aproxima al número L". 

En este caso, se dice que el límite exite y se escribe como: $\displaystyle\lim_{x \to c }{f(x)}=L$ 

• Caso 2.En este ejemplo, la función f no está definida para x=c.

Aunque $f(c)\neq L$, se tiene que $f(x)\rightarrow{L}$, para los valores de x cercanos a c.

Al igual que el caso anterior, el límite existe y se puede escribir: $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}=L$

• Caso 3.En este caso, cuando "x tiende a c" por la derecha, la función "tiende a S", mientras que;cuando "x tiende a c" por la izquierda, la función "tiende a R".
• Esto es, cuando $x\rightarrow{c^+}$, entonces $f(x)\rightarrow{S}$, pero cuando $x\rightarrow{c^-}$, entonces $f(x)\rightarrow{R}$.

En este caso, la función no tiende a un mismo valor cuando x se acerca a c, en consecuencia $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}$, no existe.

• Caso 4.En este ejemplo, cuando "x tiende a c" por la derecha la función toma valores positivos cada vez mayores, mientras que cuando "x tiende a c" por la izquierda, la función toma valores positivos cada vez menores.
• Esto es, cuando $x\rightarrow{c^+}$, entonces $f(x)\rightarrow{+\infty}$, pero cuando $x\rightarrow{c^-}$, entonces $f(x)\rightarrow{-\infty}$.

De lo anterior se deduce que la función no tiende a ningun número real fijo, cuando se acerca a c, en consecuencia $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}$, no existe.