Ya conocemos que la palabra función se utiliza para expresar relaciones o vínculos de variables respecto a otras.
En el contexto matemático, el concepto de función tiene el mismo significado, pero de acuerdo a la rigurosidad de la ciencia, es necesario que se definan algunos conceptos básicos.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.
Supóngase que existen dos conjunto $A$ y $B$, no vacíos.
Llamaremos función a la relación o regla de correspondencia entre los conjuntos $A$ y $B$, que satisface las siguientes condiciones:
- Todos los elementos del conjunto $A$, deben estar relacionados con algún elemento del conjunto $B$.
- A cada elemento del conjunto $A$, le corresponde un y sólo un elemento del conjunto $B$.
Estas dos condiciones se pueden expresar de la siguiente manera:
Si $A$ y $B$ son dos conjunto, no vacíos, llamamos función de $A$ en $B$ a la relación o correspondencia que asocia a todo elemento de $A$, con un y sólo un elemento de $B$.
Esta correspondencia (o regla) se denota por $f$, y se escribe como: $f:A\rightarrow{B}$, que se lee "$f$ es una función de $A$ en $B$", entendiendo que $f$ es una relación que vincula a un elemento $x\in{A}$, con un único elemento $y\in{B}$.
El elemento $y\in{B}$, se dice que es la imagen de x mediante $f$, lo cual se indica escribiendo $y=f(x)$
El elemento $x\in{A}$, se denomina pre-imagen de $f$.
El conjunto $A$, se denomina Dominio de la función, (o conjuto de partida).
El conjunto $B$, se denomina Codominio de la función, (o conjunto de llegada)
El conjunto de las imagenes de $f$ es el rango (Rgo) de la función. Es decir, $\mbox{Rango }de\mbox{ f}=\left\{{f(x): x\in{A}}\right\}$.
Es claro que $Rgo\subseteq{Codom}$.
ELEMENTOS NECESARIOS PARA DEFINIR UNA FUNCIÓN.
ELEMENTOS NECESARIOS PARA DEFINIR UNA FUNCIÓN.
Se dice que una función $f$, esta bien definida, si se conocen los siguientes elementos:
- El dominio.
- El Codominio.
- La ley o regla de correspondencia, $f(x)$, que indica la forma en que $f$ asigna a cada $"x"$ del dominio, algun $"y"$ del Codominio.
FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN.
Una función se puede expresar por una de las siguientes formas:
Mediante un enunciado: en este caso, la función se expresa enunciando la propiedad que establece la relación o correspondencia entre los elementos del dominio y del codominio.Por ejemplo:
- Sean $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$, el conjunto de los números naturales y enteros espectivamente. Se puede formular la siguiente función:
$f:\mathbb{N}\rightarrow{\mathbb{Z}}$,
- como la función que: "a cada natural, le asocia el mismo número disminuido en 10". En este caso, el enunciado describe a la función y a los conjuntos que la definen.
Mediante un diagrama de venn: en esta forma, la función se representa visualmente a traves de flechas que relacionan los elementos de los conjuntos. Por ejemplo:
Indicando la imagen de cada elemento: en esta forma, la función se define con las imagenes correspondiente a cada elementos del dominio, mediante f.
Por ejemplo, la función definida por,
$f: \left\{{2, 4}\right\}\rightarrow{\mathbb{Q}}$, tal que:
- $f(2)=\frac{2}{3}$
- $f(4)=\frac{4}{3}$, es una función que a todo elemento del dominio, le hace corresponder su tercera parte.
Mediante pares ordenados: la función se expresa como el conjunto de pares ordenados de números reales de la forma $f(x)$, donde:
- no hay dos pares ordenados distintos que tengan el mismo primer elemento. Es decir, $y=f(x)$ es unica para un valor específico de $x$.
- los valores $x$ representan los elementos del dominio.
- los valores resultantes $y=f(x)$, reprensentan el contradominio de la función.
Por ejemplo:
- La función del ejemplo anterior, se puede representar como $f=\left\{{\left(2, \frac{2}{3} \right);\left(4, \frac{4}{3} \right) }\right\}$
Mediante una expresión algebraica: esta es la forma más utilizada, e indica a través de un modelo matematico la relación entre los elementos del dominio con su imagen. Por ejemplo:
- La función $f:\mathbb{Z}\rightarrow{\mathbb{Z}}$, que asocia "cada entero con su cubo aumentado en uno", se puede expresar mediante la siguiente fómula matemática, donde si x, es culaquier elemento del dominio, entonces su imagen viene dada por $f(x)=x^3+1$
- Esta función, se expresa como: $f:\mathbb{Z}\rightarrow{\mathbb{Z}}$, tal que $f(x)=x^3+1$.
