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martes, 25 de enero de 2011

NUMEROS REALES

Se define el Conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales como:$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \mathbb{I}$
Al igual que en los anteriores sistemas numéricos, el sistema de los números reales nace para superar la limitación de solucionar ecuaciones como $x^2-2=0$Es por ello, que se impone la necesidad de construir un conjunto, que contenga a los racionales, mantenga las propiedades y ofrezca solución a la ecuación anterior.  
  • En el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales, se definen dos operaciones a saber: la adición (+) y la multiplicación (.), las cuales verifican todas las propiedades estudiadas en los anteriores sistemas numéricos. Las propiedades de los números reales se denominan axiomas de campo.
  • Un número real siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa y viceversa. Esta propiedad permite la posibilidad de tratar a los números reales como puntos de una recta.
  • El conjunto $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}-\left\{{0}\right\}$,es decir, los reales sin el cero.
  • El conjunto $\mathbb{R}^+$, se denomina los reales positivos (No negativos).
  • El conjunto $\mathbb{R}^-$, se denomina los reales negativos (No positivos).
  • El conjunto $ \mathbb{R}=\mathbb{R}^+\cup\left\{{0}\right\}\cup \mathbb{R}^-$.
Vea también las propiedades de los números reales y el conjunto de los números naturales enteros racionales e irracionales
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NUMEROS IRRACIONALES

Llamaremos Conjunto de números Irracionales, denotado por $\mathbb{I}$, a los números cuyas representaciones decimales son no periódicas ilimitadas,  y no admiten la representación como el cociente de dos enteros. Ejemplo de estos números son:
  1. El número de Euler, $e\approx 2.7182818284590452354...$. Este número aparece de manera natural en el estudio de fenómenos asociados a crecimientos poblacionales, desintegración radiactiva, calculo de intereses, etc.
  2. El número pi,$\pi \approx 3.14159265358979323846...$.Este número se conoce desde hace cerca de 4000 años. Esta letra griega, equivale a la letra p de nuestro alfabeto, proviene de la palabra periferia, en alusión al perímetro o longitud de la circunferencia.
  3. El número de Liouville,$\approx 1.101001000100001...$.En honor al matemático francés del siglo XIX, J. Liouville.
  4. También son irracionales los números $\sqrt[]{2}$; $\sqrt[]{3}$; $\sqrt[]{5}$; $\sqrt[]{7}$        
  5. Si el numero racional $n$ no es un cuadrado perfecto, entonces $\sqrt[]{n}$ no es un número racional.
Vea también propiedades de los números irracionales y el conjunto de los números naturales, enterosracionales y reales. 
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NUMEROS RACIONALES

En los apartados anteriores describimos los sistemas de numeración para $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$.
Ya hemos comentado que ecuaciones como $3.x=5$ no admiten soluciones enteras, dado que $5$ debe ser múltiplo de $3$ ó de otra forma $3$ debe dividir a $5$, lo cual no es el caso.
De allí que nace la necesidad de construir un conjunto, que contenga a los números enteros, se mantengan las propiedades anteriores y la ecuación: $a.x=b$, $a\neq 0$ y $a, b \in{Z}$, tenga siempre solución.
Este nuevo conjunto numérico, que contiene a $\mathbb{Z}$, y permite superar la limitación de resolver tal ecuación, se denomina el conjunto de los números racionales (fraccionarios o quebrados), lo denotamos por $\mathbb{Q}$, y se presenta así:$\mathbb{Q}=\left\{{\frac{a}{b}},\:a,b\in{Z},\:b\neq 0\right\}$
  • Un número racional se representa como el cociente de números enteros $a$ y $b$, donde $a$ es el numerador $b$ es el denominador.
  • Los siguientes son algunos números racionales:   
  • El conjunto de los números racionales no posee un primer elemento para la relación de orden $\leq$. Esto es, no existe un racional menor o igual que cualquier otro racional.
  • El conjunto de los números racionales no posee un último elemento para la relación de orden $\leq$. Esto es, no existe un racional mayor o igual que cualquier otro racional.
  • El conjunto, $\mathbb{Q}^*=\mathbb{Q}-\left\{{0}\right\}$ es decir, los racionales sin el cero.
  • El conjunto $\mathbb{Q}^+=\left\{{\frac{a}{b}:(a,b\in{\mathbb{Z}^+})\vee(a,b\in{\mathbb{Z}^-})}\right\}$
  • El conjunto $\mathbb{Q}^-=\left\{{\frac{a}{b}:(a\in{\mathbb{Z}^+},b\in{\mathbb{Z}^-})\vee(a\in{\mathbb{Z}^-},b\in{\mathbb{Z}^+})}\right\}$
  • El conjunto $ \mathbb{Q}=\mathbb{Q}^+\cup\left\{{0}\right\}\cup \mathbb{Q}^-$
  • Todo numero natural y en consecuencia todo entero $n$, se puede escribir como el racional $\frac{n}{1}$.
  • Luego, $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$.

Vea también las propiedades de los números racionales y el conjunto de los números naturales, enterosirracionales y reales 

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NUMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros, nace de la necesidad de extender el conjunto $\mathbb{N}$ para dar solución a ecuaciones tipo $a+x=b$, cuando $b\prec a$.
Ya hemos visto que para el caso $b\geq a$, la ecuación tiene solución en $\mathbb{N}$.
Para ello, se amplia el sistema mediante la incorporación de ciertos elementos o números llamados números negativos que permitan superar las limitaciones, en cuanto a la operación "diferencia entre dos números", que presentan los naturales.
A este nuevo conjunto extendido, lo llamamos conjunto de los números enteros, lo denotamos por $\mathbb{Z}$, y se presenta así:
$\mathbb{Z}=\left\{{.\:.\:.\:-3, \:-2, \:-1, \:0, \:1, \:2, \:3, .\:.\:.\:}\right\}$
  • El conjunto de los números enteros no posee un primer elemento para la relación de orden $\leq$. Esto es, no existe un entero meno o igual que cualquier otro entero.
  • El conjunto de los números enteros no posee un último elemento para la relación de orden $\leq$. Esto es, no existe un entero mayor o igual que cualquier otro entero.
  • El conjunto $\mathbb{N}$ está contenido en el conjunto $\mathbb{Z}$, y se denota así: $\mathbb{N}\subset{\mathbb{Z}}$.
  • El conjunto $\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}-\left\{{0}\right\}$, es decir, los enteros sin el cero.
  • El conjunto $\mathbb{Z}^+=\left\{{1,\:2,\:3,\:4,\:...}\right\}$, se denomina los enteros positivos (No negativos).
  • El conjunto $\mathbb{Z}^-=\left\{{-1,\:-2,\:-3,\:-4,\:...}\right\}$, se denomina los enteros negativos (No positivos).
  • El conjunto $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}^+\cup\left\{{0}\right\}\cup \mathbb{Z}^-$.
  • Una de las aplicaciones de los números enteros, es la que  tiene que ver con situaciones que asocien el concepto de dirección o sentido. Tal es el caso de designar los haberes con el signo (+) y la deudas con el signo (-), o con el signo(+) los grados por encima de cero y por debajo de cero con el signo(-).


Vea también las propiedades de los números enteros y el conjunto de los números naturales racionalesirracionales y reales

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NUMEROS NATURALES

El conjunto de los números naturales esta formado por el cero y los números utilizados para contar 1, 2, 3, 4, 5,...,. Lo denotamos por $\mathbb{N}$ y corrientemente se presentan así:
$\mathbb{N}= \left\{{0, 1, 2, 3, 4, ...}\right\}$
Al conjunto cuyos elementos son los números naturales sin el cero, se les denota $\mathbb{N^*}$; esto es:
$\mathbb{N^*}= \left\{{1, 2, 3, 4, 5, ...}\right\}$
  • La utilidad primitiva de estos números se encuentra en la de contar objetos de un conjunto y de asignar un símbolo a una determinada cantidad de objetos.
  • El número cero es el primer número natural. Es el primer elemento para la relación de orden $\leq$.Esto es, cero es menor o igual que cualquier otro número natural.
  • Todo número natural tiene otro distinto que le sucede. No posee último elemento.
  • Un número natural siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa. Pero, no todo punto de la recta representa a un número natural.
  • Entre dos números naturales consecutivos, no existe ningún número natural.
  • Para indicar que la letra n representa un número natural, escribimos $n\in{\mathbb{N}}$
Los siguientes son subconjuntos de los Números Naturales:
  • Los números pares
$\left\{{x\in{\mathbb{N}:\:x=2n,\:n\in{\mathbb{N}}}}\right\}$
  • Los números impares
$\left\{{x\in{\mathbb{N}:\:x=2n+1,\:n\in{\mathbb{N}}}}\right\}$
  • Los números primos o aquellos que son divisibles por sí mismo y por la unidad.
$\left\{{2, 3, 5, 7, 11, ...}\right\}$
  • El conjunto de los números compuestos, vales decir, aquellos que no son primos.

Vea también las propiedades de los números naturales y el conjunto de los números enterosracionalesirracionales y reales. 

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SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

El sistema de los números reales se caracteriza por el conjunto de los números reales y dos operaciones llamadas adición y multiplicación. Este sistema es el elemento básico del análisis matemático.
El estudio del sistema de los números reales se lleva a cabo por dos métodos principales:
o   Método 1 (intuitivo): se comienza con un sistema más primitivo, vale decir la utilización de los conjuntos naturales y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales.   
o    Método 2 (axiomático): se asume la existencia de los números reales y se hace una descripción formal del sistema de los números reales a través de un conjunto de propiedades (axiomas) de las cuales se deducen otras.   
En este curso, se utilizará el método axiomático, en lugar del desarrollo inductivo. Se asume la existencia del conjunto de los números reales y desarrollaremos el sistema axiomático.
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