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martes, 25 de enero de 2011

TEOREMAS DE LIMITE

Sea $f$ una función definida en un intervalo $I\subset R$, tal que $a\in I$.

Teorema 1. (Funciones iguales).

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=M$, entonces $L=M$.

Teorema 2.

Si $m$ y $b$ son dos constantes cualquiera, entonces $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{(mx+b)}=m.a+b$

Teorema 3.(Límite de una constante)

$\displaystyle\lim_{x \to{a}}{c}=c$, para cualquier real $a$, cuando $c$ es una constante.

Teorema 4.(Límite obvio)

Si $a$ es un número real, entonces $\displaystyle\lim_{x\to{a}}{x}= a$

Teorema 5.(Límite de una suma)

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=M$, entonces
$\displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)\pm g(x)]}=L\pm M$

Teorema 6.(Límite de un producto)

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=M$, entonces
$\displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)\times g(x)]}=L\times M$

Teorema 7.(Límite de un cociente)

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$, $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=M$ y $M\ne 0$, entonces $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{L}{M}$

Teorema 8.

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $n$ es cualquier entero positivo, entonces $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)]^n}=L^n$

Teorema 9.

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $n$ es cualquier entero positivo, entonces $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\sqrt[n]{f(x)}}=\sqrt[n]{L}$
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DEFINICION FORMAL DEL CONCEPTO DE LIMITE

En una oportunidad se revisó la idea intuitiva del concepto de límite.
En el ejemplo, se analizó el comportamiento de la función $f$ definida por
$$f(x)=\frac{2x^2+x-3}{x-1}$$ en torno al valor $x=1$, vale decir, "cercanos a 1", pero "no iguales a 1".
En resumen:
  1. Se observó la posibilidad de hacer que el valor de $f(x)$ se aproxime a $5$, tanto como se quiera, tomando los valores de $x$ cercanos a $1$.
  2. Este hecho se expresó como: $$\displaystyle\lim_{x \to 1 }{f(x)}=5$$.
El aspecto 1, se puede enfocar también como la posibilidad de hacer el valor absoluto de la diferencia entre $f(x)$ y $5$ tan pequeño como se quiera, logrando que el valor absoluto de la diferencia entre $x$ y $1$ sea suficientemente pequeño.

Es decir,$$\left |{f(x)-5}\right |$$ se puede hacer tan pequeño como se quiera, siempre que $$\left |{x-1}\right |$$ sea suficientemente pequeño, pero no igual a cero, esto es, observando que $x\neq 1$

Veamos la siguiente tabla de resultados: 
Para precisar estas diferencias, se utilizaran la letras griegas $\epsilon$ (épsilon) y $\delta$ (delta), de la siguiente manera:
  • $\epsilon$ será el número real positivo que indique que tan pequeño se quiere hacer el valor absoluto de la diferencia entre $f(x)$ y $5$
  • $\delta$ será el número real positivo que indique que tan pequeño se quiere hacer el valor absoluto de la diferencia entre $x$ y $1$
Con esta observación, se dice entonces que $$\left|{f(x)-5}\right|$$ será menor que $\epsilon$, siempre que $$\left|{x-1}\right |$$ sea menor que $\delta$, considerando que $$\left|{x-1}\right|\neq 0$$
  • La elección de $\epsilon$ es arbitraria, pero $\delta$ se obtiene a expensas de $\epsilon$
  • Para cada $\epsilon$ se requiere que existe un $\delta$ especifico
  • Mientras más pequeño sea el $\epsilon$ elegido, más pequeño será el $\delta$, correspondiente.
En el ejemplo se tiene que:
$$\displaystyle\lim_{x \to 1 }{f(x)}=5$$, dado que para cada $\epsilon \succ 0$, existe un $\delta\succ 0$, tal que $$\left|{f(x)-5}\right|\prec\epsilon$$, siempre que $0 \prec\left|{x-1}\right |\prec\delta$
En general, para un función $f$ cualquiera, el $$\displaystyle\lim_{x\to c }{f(x)}=L$$,
significa que la diferencia entre $f(x)$ y $L$ puede hacerse tan pequeña como se quiera, haciendo que $x$ tome valores lo suficientemente cercanos a $c$, con la resticción de que $x$ sea distinto de $c$

DEFINICIÓN FORMAL DE LIMITE
Sea $f$ una función definida en un intervalo $I\subset R$, tal que $c\in I$.
Se dice que el límite de $f(x)$ es $L$ cuando x tiende a $c$, si para todo número positivo $\epsilon$ existe un número positivo $\delta$ tal que $f(x)$ está definido y se cumple el siguiente enunciado
$$\left|{f(x)-L}\right|\prec\epsilon$$, siempre que $0 \prec\left|{x-c}\right |\prec\delta$.
De manera abreviada, se puede escribir
$$\displaystyle\lim_{x \to c }{f(x)}=L$$
también:
$$f(x)\rightarrow{L}$$ cuando $$ x\rightarrow{c}$$.  
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APROXIMACION GRAFICA DEL CONCEPTO DE LIMITE

En las siguientes gráficas, se puede observar que para calcular $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}$, es decir, el limite de una función $f(x)$, cuando $x$ tiende al valor c, no es necesario que la función esté o no definida en c, lo que interesa es que $f$ esté definida en las cercanías de $c$.
  • Caso 1.La función $f$ está definida para "todos" los valores alrededor de un número "$c$", incluso en el punto $c$ mismo.
Aunque no es necesario que la función esté definida incluso en mismo, se observa que cuando $x\rightarrow{c}$, entonces, $f(x)\rightarrow{L}$, es decir, cuando "x tiende a c", entonces "f(x) se aproxima al número L". 
En este caso, se dice que el límite exite y se escribe como: $\displaystyle\lim_{x \to c }{f(x)}=L$ 
  • Caso 2.En este ejemplo, la función f no está definida para x=c.
Aunque $f(c)\neq L$, se tiene que $f(x)\rightarrow{L}$, para los valores de x cercanos a c.
Al igual que el caso anterior, el límite existe y se puede escribir: $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}=L$

  • Caso 3.En este caso, cuando "x tiende a c" por la derecha, la función "tiende a S", mientras que;cuando "x tiende a c" por la izquierda, la función "tiende a R".
  • Esto es, cuando $x\rightarrow{c^+}$, entonces $f(x)\rightarrow{S}$, pero cuando $x\rightarrow{c^-}$, entonces $f(x)\rightarrow{R}$.
En este caso, la función no tiende a un mismo valor cuando x se acerca a c, en consecuencia $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}$, no existe.
  • Caso 4.En este ejemplo, cuando "x tiende a c" por la derecha la función toma valores positivos cada vez mayores, mientras que cuando "x tiende a c" por la izquierda, la función toma valores positivos cada vez menores.
  • Esto es, cuando $x\rightarrow{c^+}$, entonces $f(x)\rightarrow{+\infty}$, pero cuando $x\rightarrow{c^-}$, entonces $f(x)\rightarrow{-\infty}$.
De lo anterior se deduce que la función no tiende a ningun número real fijo, cuando se acerca a c, en consecuencia $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}$, no existe.
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IDEA INTUITIVA DEL CONCEPTO DE LIMITE

En este apartado, se presentará intuitivamente el concepto de límite evaluando la función real de variable real cerca de un punto.
Considere la función f definida por:
$$f(x)=\frac{2x^2+x-3}{x-1}$$
Se observa que la función está definida para todo número real, excepto para $x=1$
Interesa observar el comportamiento de la función $f$ para los valores de $x$, "cercanos a 1", pero no iguales a 1. Esto es, los valores de $x$ "menores que 1" ($x$ por la izquierda de 1) y los valores de $x$ "mayores que 1" ($x$ por la derecha).
Las siguientes tablas muestran algunos resultados:
En ambas tablas se observa que, conforme "x se aproxima al valor 1", por la derecha y por la izquierda, la función $f(x)$, toma valores cada vez, "más cercanos a 5".
Esto es, en la medida que se restringe el dominio de la función a valores "cercanos a 1", el conjunto de imágenes (o valores que toma la función) "se acerca cada vez más a 5".
El hecho de que:
  • "x se acerque o aproxime a 1", se simboliza como:$x\rightarrow{}1$, 
  • "f(x) tiende a 5", se simboliza como $f(x)\rightarrow{}5$
Utilizando la notación de límite se escribe:
$\displaystyle\lim_{x \to 1 }{f(x)}=5$
Lo anterior se lee: "el límite de la función, cuando x tiende a 1, es igual a 5. 
La siguiente gráfica, corresponde a la función f, alli se puede observar que conforme x toma valores cercanos a 1, el valor de la función, f(x), se aproxima a 5.

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