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martes, 25 de enero de 2011

GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMICA

FUNCIÓN LOGARITMICA.
La función logaritmica se define como $f(x)=log_a(x)$, donde $"a"$ es la base, y es un número real mayor que la unidad, esto es
$a\in{\mathbb{R}}, \:\: a\succ 1$
  • $Dom_f=\mathbb{R}^+$.
  • $Rgo_f=\mathbb{R}$.
  • Su representación gráfica depende del valor de $"a"$, para lo cual se distinguen dos casos:i) $0<a<1$ y ii) $a>1$.
Cuando:
  • $log_ax$ aumenta a medida que la variable $x$ aumenta.
  • $log_ax$ es positivo, cuando $ x\succ 1$
Cuando:
  • $log_ax$ disminuye a medida que la variable $x$ aumenta.
  • $log_ax$ es negativo, cuando $0 < x < 1$.
Además:
  • $log_ax$ no está definido cuando $x$ no es positivo.
  • $log_ax=0$, si y sólo si $x=1$.
  • $log_ax=1$, si y sólo si $x=a$.
  • Si $b\succ 0$,la variable $log_ax$, disminuye cuando la variable $x$ aumenta.
  • Si $>0 \prec b\prec 1$, la variable $log_ax$aumenta , cuando la variable x aumenta
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GRAFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

FUNCIÓN EXPONENCIAL.
La función exponencial se define como $f(x)=a^x$, donde $"a"$ es un número real positivo distinto de de la unidad, esto es
$a\in{\mathbb{R}}, \:\: a\neq 1, \:\: a\succ {0}$
  • $Dom_f=\mathbb{R}$.
  • $Rgo_f=\mathbb{R}^+$.
  • Su representación gráfica depende del valor de $"a"$, para lo cual se distinguen dos casos:i) $0<a<1$ y ii) $a>1$.
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GRAFICA DE LA FUNCION RAIZ CUADRADA

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA.
La función raíz cuadrada se define como $f(x)=\sqrt[]{a}$
  • $Dom_f=\mathbb{R}^+\cup\left\{{0}\right\}$.
  • $Rgo_f=\mathbb{R}^+\cup\left\{{0}\right\}$.
  •  Su representación gráfica es como la siguiente:
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GRAFICA DE LA FUNCION VALOR ABSOLUTO

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.
La función valor absoluto se define como $f(x)=\left |{\:x\:}\right |$, donde
$$f(x)= \left\{ \begin{array}{} x, x\geq 0\\ -x, x\prec{0}\end{array}{}\right $$
  • El dominio de definición es el conjunto de los números reales.
  • El rango de f corresponde al conjunto de los números reales no negativos, vale decir, al intervalo $\left[{0, \:+\infty}\right)$. 
  • Su representación gráfica consiste en dos semi rectas que pasan por el origen y están por encima del eje x.
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GRAFICA DE LA FUNCION CUADRATICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA.
La función cuadrática se define como $f(x)=ax^2+bx+c$, donde $a,\:b,\:c\in{\mathbb{R}, \:a\neq{0}}$
  • El dominio de definición es el conjunto de los números reales. 
  • Su representación gráfica es una parábola con eje vertical y vértice $$\left({h,k}\right)=\left({-\frac{b}{2a},\:c-\frac{b^2}{4a}}\right)$$.
  • Si $a>0$, la parábola se abre hacia arriba, y $Rgo_f=\left[k,+\infty\right)$.
  • Si $a<0$, la parábola se abre hacia abajo, y $Rgo_f=\left(-\infty,k\right]$.
  • El corte de la grafica con el eje $"y"$, ocurre en el punto $(0, c)$
  • El corte de la grafica con el eje $"x"$, depende de los valores de la ecuación :
$f(x)=ax^2+bx+c$.
Cuando la ecuación tiene dos soluciones (raices) reales y distintas,
$x_1\neq x_2$
la grafica corta al eje $"x"$ en los puntos:
$\left({x_1,0}\right)$ y $\left({x_2,0}\right)$
  • Si la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales,
    $x_1 = x_2$
    la grafica interseca al eje "x" en el punto: 
$\left({x_1,0}\right)$
  • Si la ecuación no tiene soluciones reales, la grafica no corta al eje real "x".
 
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TECNICA PARA GRAFICAR FUNCIONES ELEMENTALES

Trazar la gráfica de una función, consiste en mostrar las características esenciales de la función en un plano coordenado.
Generalmente, se localizan algunos puntos que determinan su representación gráfica.
Pasos para trazar la gráfica de una función:
  1. Identificar el tipo de función.
  2. Determinar el dominio de la función.
  3. Determinar el corte con el eje $x$. Para esto, se resuelve la ecuación $y=f(x)$, considerando $y=0$.Esto es, $f(x)=0$, se despeja la variable $x$ y se obtiene el punto $(x,0)$.
  4. Determinar el corte con el eje $y$. Para esto se resuelve la ecuación $y=f(x)$, considerando $x=0$.Esto es, $f(0)=y$, se despeja la variable $y$, y se obtiene el punto $(0,y)$.
  5. Elegir algunos valores $(x)$ del dominio y evaluar cada $x$ en la función $f(x)=y$, para obtener los respectivos valores $y$.Es recomendable organizar estos datos en una tabla como la siguiente: 
  6. $x$
    $y = f(x)$
    Pares ordenados $(x,y)$
    Representar cada par ordenado en el plano cartesiano.
  7. Trazar la gráfica de la función según su identificación.
  8. Determinar el rango de la función.
El siguiente enlace contiene información acerca de la representación gráfica de funciones elementales
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GRAFICA DE LA FUNCION LINEAL

FUNCIÓN LINEAL.
La función $f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}$ definida como:$f(x)=ax+b$, donde $a, b\in{\mathbb{R},\:a\neq{0}}$, se denomina función lineal o afín.
  • Tanto el dominio como el rango de definición, de $f$, es el conjunto de los números reales.
  • Su representación gráfica es una línea recta oblicua cuya inclinación depende del valor de a. $(a>0, a<0)$.
  • El valor de $"a"$ se conoce conoce como la pendiente de la recta.
  • Cuando $a>0$, el grafico de la recta es creciente
  • Cuando $a<0$, el grafico de la recta es decreciente.
  • El corte de la grafica con el eje vertical $"y"$, lo representa el punto $(0, b)$. Esto es consecuencia de resolver $f(x)=ax + b$, para $x=0$.
  • El corte de la grafica con el eje horizontal $"x"$, lo representa el punto $(\frac{-b}{a}, 0)$. Esto es consecuencia de resolver $f(x)=0$, es decir, $ax + b=0$.
  • Por geometría, una recta se determina con solo dos punto, por ello, para graficar la función lineal es suficiente calcular sólo dos puntos que le pertenezcan. Generalmente se calcula los puntos: $(0, b)$ y $(\frac{-b}{a}, 0)$.


Caso b=0
La función definida como $f(x)=ax$,donde $a\:\in{\mathbb{R}}$, es un caso particular de la función lineal, donde $b=0$.
  • Tanto el dominio como el rango de definición, de $f$, es el conjunto de los números reales.
  • Su representación gráfica es una línea recta que pasa por el origen $(0,0)$, y su inclinación, sabemos que depende del valor de a.
  • Cuando $a=1$, (pendiente es 1), estamos en el caso de la función identidad definida como $f(x)=x$
Caso a=0


La función definida como $f(x)=b$,donde $b\:\in{\mathbb{R}}$, se conoce como función constante, es también lineal, pero donde $a=0$.
  • El dominio de definición es el conjunto de los números reales.
  • El rango de $f$ coincide con el valor real $b$, esto es $Rgo_f=\left\{{b}\right\}$, vale decir, el rango es el conjunto cuyo unico elemento es $b$.
  • Su representación gráfica es una línea recta paralela al eje $x$, que interseca el eje $"y"$ en el punto $(0,b)$
  • El valor $a=0$ indica que la recta no tiene inclinación.
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COORDENADAS RECTANGULARES

PRODUCTO CARTESIANO.
Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos. Llamaremos producto cartesiano de $A$ y $B$, denotado por $A\times{B}$, al conjunto cuyos elementos son de la forma (a,b), tal que $a\in A$, $b\in B$. En símbolos:$A\times{B}=\left\{{\left(a,b\right): a\in A, b\in B}\right\}$
Supongase que $A={1,2,3}$ y $B={1,2}$. El producto cartesiano se representa como
$A\times{B}=\left\{{\left(1,1\right),\:\left(1,2\right),\:\left(2,1\right),\: \left(2,2\right),\: \left(3,1\right),\: \left(3,2\right)}\right\}$.
PARES ORDENADOS.
Los elementos $(a,b)$ del conjunto $A\times{B}$, se denominan pares ordenados, y reciben este nombre dado que si:
$a\in A$; $b\in B$; $a\neq b$
entonces
$\left(a,b)\neq\left(b,a)$
En el ejemplo anterior,
$\left(1,2)\neq\left(2,1)$
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
Así como los números reales se pueden asociar a cada punto de la recta real, (espacio unidimensional) también el conjunto $\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}$, vale decir, los pares ordenados, se pueden representar en un sistema denominado de coordenadas rectangulares (espacio bidimensional).
Un sistema de coordenadas rectangulares consiste en un par de rectas , una vertical (eje y) y otra horizontal (eje x), perpendiculares entre si y graduadas, cuya intersección es el punto O=(0,0), denominado origen. Estas rectas dividen al plano en cuatro sectores, denominados cuadrantes.
Cada cuadrante se enumera como I, II, III y IV.
Este sistema también se conoce como plano cartesiano y permite asociar a cada par ordenado (x,y) de números reales, su correspondiente punto en el plano.

Se dice que cada punto (a,b)  del plano tiene coordenadas a y b, donde (a) es la abscisa y (b) es la ordenada.
Por ejemplo, el punto (-3, 1), tiene coordenadas -3 y 1.
Además -3 es la abscisa y 1 es la ordenada.
Las coordenadas de un punto son positivas o negativas, segun el cuadrante que ocupen.
Por ejemplo, sean x, y las coordenadas de un punto P, entonces si:
  • P está en el primer cuadrante, x >0, y>0.
  • P está en el segundo cuadrante, x<0, y>0.
  • P está en el tercer cuadrante, x<0, y<0.
  • P esta en cuarto cuadrante, x>0, y <0. 
A cada punto P del plano se le asocia exactamente un par ordenado de números reales (a,b) y a cada par ordenado de números reales se asocia exactamente un punto del plano. 
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GRAFICA DE FUNCIONES


GRÁFICA DE FUNCIONES.
La representación gráfica de una función f, se fundamenta en el concepto de función como el conjunto de pares ordenados de números reales.
Basados en esta definición, se puede decir que: 
Si $f$ es una función, entonces, la grafica de $f$ es el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ en $\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}$ para los que $(x,y)$ es un par ordenado de $f$.
Esto es:
$grafica f =\left\{{\left(x,y\right)\in{\mathbb{R}^2}/ x\in{Dom_f}\wedge\:y=f(x)}\right\}$
  • La gráfica de una función sólo puede ser cortada por un recta vertical en un punto.
Por ejemplo, la función definida como:
$f=\left\{{(-1,3), (2,-1), (0,0), (5,4), (2,3)}\right\}$,
se representa graficamente como:

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DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.
Sea f una función definida de $A$ en $B$. Vale decir,
$f:A\rightarrow{B}$
Se dice que $f$ es una función real de variable real si $A$ y $B$ son subconjuntos de los números reales; es decir,
$A\subseteq {\mathbb{R}$ y $B\subseteq {\mathbb{R}$
Cuando una función se define de manera algebraica, en la mayoría de los casos, interesa determinar los valores de la variable para los cuales el enunciado algebraico representa un número real, es decir, interesa conocer su dominio. 
Antes de avanzar, recordemos los siguientes criterios, necesarios para determinar el dominio y rango de las funciones reales de variable real: 
  • Si $$\frac{a}{b}$$ es real, entonces $b\neq 0$, esto es, el denominador debe ser distinto de cero.
  • Si $$\sqrt[n]{a}$$ es real, con $n$ par, entonces $a \geq 0$, esto es, la cantidad subradical debe ser mayo o igual que cero.
2.2.2 DETERMINAR EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.
Para determinar el dominio de una función $f$, de acuerdo a su regla $y=f(x)$, se analizan todos lo valores posibles de la variable $x$, tal que $f(x)$ es un número real. Esto es, se despeja la variable $y$, para estudiar el comportamiento de la variable $x$. Al hacer este despeje, se consideran los siguientes casos:
  • La variable $x$ forma parte del denominador de una fracción.
  • La variable $x$ forma parte de un radical par.
  • La variable $x$ no forma parte de ni de un dominador ni de un radical.
2.2.2.1 LA VARIABLE X FORMA PARTE DEL DENOMINADOR.
Veamos un ejemplo.
Sea $f$ una función definida por la expresión:
$$f(x)=\frac{5}{2x-3}$$.
Determinar su dominio.
En este caso, evaluando para el denominador distinto de cero, tenemos:
$\begin{matrix}2x-3\neq 0\Rightarrow{2x\neq 0}\\\Rightarrow{x\neq\frac{3}{2}}\end{matrix}$
Esto es, todos los reales excepto $\frac{3}{2}$ tienen imagen mediante $f$ en el conjunto de llegada, por lo tanto, el conjunto dominio de $f$ se escribe asi:$\mbox{Dom f}=R-\left\{{\frac{3}{2}}\right\}$
2.2.2.2 LA VARIABLE X FORMA PARTE DE UN RADICAL PAR.
Por ejemplo:
Sea $f$ la función definida por la expresión:
$f(x)=\sqrt[]{3-3x}$.
Determinar su dominio.
En este caso, $f$ es una función real si la cantidad subradical es no negativa, vale decir, mayor o igual que cero. Esto es:
$\begin{matrix}3-3x\geq 0 \Rightarrow -3x\geq -3\\\Rightarrow x\leq 1 \\\Rightarrow{Dom f}= \left(-\infty, 1\right]\end{matrix}$
Este resultado indica que la función se define sólo para los números reales menores o iguales a 1.
2.2.2.3 LA VARIABLE X NO FORMA PARTE DE UN DENOMINADOR NI DE UN RADICAL PAR.
Para este caso, el conjunto dominio de f, es el conjunto de los números reales. Veamos el ejemplo: 
Sea $f$ una función definida por la expresión:
$$f(x)=\frac{3x-2}{5}$$.
 
Determinar su dominio.
La expresión $$\frac{3x-2}{5}$$,
no tiene restricciones, por lo tanto cualquier número real tiene imagen en el conjunto de llegada, mediante $f$, y escribimos que $Dom f = R$.
2.2.3 DETERMINAR EL RANGO DE UNA FUNCIÓN.
El rango de una función $f$, es el conjunto de los números reales, que son imágenes de algún elemento del dominio, mediante $f$.
Determinar el rango, consiste en analizar todos los valores posibles que pueda tomar la variable $y$, tal que la variable $x$ sea un número real. Para esto, se despeja la variable $x$ en función de la variable $y$.
Por ejemplo:
El rango de la función descrita en el punto 2.2.2.1, se calcula asi:
$$\begin{matrix}y=\frac{5}{2x-3}\Rightarrow 2x-3=\frac{5}{y}\\\Rightarrow 2x=\frac{5}{y}+3\\\Rightarrow 2x=\frac{5+3y}{y}\\\Rightarrow x=\frac{5+3y}{2y}\\ \end{matrix}$$
Lo anterior muestra que: $$Rgo_f=\mathbb{R}-\left\{{0}\right\}$$
El siguiente enlace contiene una guía de ejercicios de funciones.
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CONCEPTOS BASICOS DE UNA FUNCION

Ya conocemos que la palabra función se utiliza para expresar relaciones o vínculos de variables respecto a otras.
En el contexto matemático, el concepto de función tiene el mismo significado, pero de acuerdo a la rigurosidad de la ciencia, es necesario que se definan algunos conceptos básicos.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.
Supóngase que existen dos conjunto $A$ y $B$, no vacíos.
Llamaremos función a la relación o regla de correspondencia entre los conjuntos $A$ y $B$, que satisface las siguientes condiciones:
  1. Todos los elementos del conjunto $A$, deben estar relacionados con algún elemento del conjunto $B$.
  2. A cada elemento del conjunto $A$, le corresponde un y sólo un elemento del conjunto $B$.
Estas dos condiciones se pueden expresar de la siguiente manera:
Si $A$ y $B$ son dos conjunto, no vacíos, llamamos función de $A$ en $B$ a la relación o correspondencia que asocia a todo elemento de $A$, con un y sólo un elemento de $B$.
Esta correspondencia (o regla) se denota por $f$, y se escribe como: $f:A\rightarrow{B}$, que se lee "$f$ es una función de $A$ en $B$", entendiendo que $f$ es una relación que vincula a un elemento $x\in{A}$, con un único elemento $y\in{B}$.
El elemento $y\in{B}$, se dice que es la imagen de x mediante $f$, lo cual se indica escribiendo $y=f(x)$
El elemento $x\in{A}$, se denomina pre-imagen de $f$.
El conjunto $A$, se denomina Dominio de la función, (o conjuto de partida).
El conjunto $B$, se denomina Codominio de la función(o conjunto de llegada) 
El conjunto de las imagenes de $f$ es el rango (Rgo) de la funciónEs decir, $\mbox{Rango }de\mbox{ f}=\left\{{f(x): x\in{A}}\right\}$.
Es claro que $Rgo\subseteq{Codom}$.
ELEMENTOS NECESARIOS PARA DEFINIR UNA FUNCIÓN.
Se dice que una función $f$, esta bien definida, si se conocen los siguientes elementos:
  • El dominio.
  • El Codominio.
  • La ley o regla de correspondencia, $f(x)$, que indica la forma en que $f$ asigna a cada $"x"$ del dominio, algun $"y"$ del Codominio.
FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN.
Una función se puede expresar por una de las siguientes formas:
Mediante un enunciado: en este caso, la función se expresa enunciando la propiedad que establece la relación o correspondencia entre los elementos del dominio y del codominio.Por ejemplo:
  • Sean $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$, el conjunto de los números naturales y enteros espectivamente. Se puede formular la siguiente función: 
$f:\mathbb{N}\rightarrow{\mathbb{Z}}$,
  • como la función que: "a cada natural, le asocia el mismo número disminuido en 10". En este caso, el enunciado describe a la función y a los conjuntos que la definen.
Mediante un diagrama de vennen esta forma, la función se representa visualmente a traves de flechas que relacionan los elementos de los conjuntos. Por ejemplo:
Indicando la imagen de cada elemento: en esta forma, la función se define con las imagenes  correspondiente  a cada elementos del dominio, mediante f.
Por ejemplo, la función definida por,
$f: \left\{{2, 4}\right\}\rightarrow{\mathbb{Q}}$, tal que:
  • $f(2)=\frac{2}{3}$
  • $f(4)=\frac{4}{3}$, es una función que a todo elemento del dominio, le hace corresponder su tercera parte.
Mediante pares ordenadosla función se expresa como el conjunto de pares ordenados de números reales de la forma $f(x)$, donde:
  • no hay dos pares ordenados distintos que tengan el mismo primer elemento. Es decir, $y=f(x)$ es unica para un valor específico de $x$.
  • los valores $x$ representan los elementos del dominio.
  • los valores resultantes $y=f(x)$, reprensentan el contradominio de la función.
Por ejemplo:
  • La función del ejemplo anterior, se puede representar como $f=\left\{{\left(2, \frac{2}{3} \right);\left(4, \frac{4}{3} \right) }\right\}$
Mediante una expresión algebraica: esta es la forma más utilizada, e indica a través de un modelo matematico la relación entre los elementos del dominio con su imagen. Por ejemplo:
  • La función $f:\mathbb{Z}\rightarrow{\mathbb{Z}}$, que asocia "cada entero con su cubo aumentado en uno", se puede expresar mediante la siguiente fómula matemática, donde si x, es culaquier elemento del dominio, entonces su imagen viene dada por $f(x)=x^3+1$
  • Esta función, se expresa como: $f:\mathbb{Z}\rightarrow{\mathbb{Z}}$, tal que $f(x)=x^3+1$.
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IDEA INTUITIVA DE FUNCION

El concepto de función, es uno de los conceptos más importantes de las matemáticas. Su aplicación es notable en otras ciencias como la física, química, computación, etc.
Intuitivamente, una función es el desempeño de un conjunto de actividades de uno o varios elementos para lograr un objetivo concreto y bien definido.
Es por ello, que escuchamos expresiones como: 
  • La oferta de un bien o servicio está en función de su demanda.
  • La demanda de un bien o servicio es una función del precio.
  • La producción esta en función de la infraestructura maquinaria. 
  • Los impuestos se pagan en función de los ingresos.
  • Los resultados obtenidos en las pruebas es una función del tiempo dedicado a estudiar.
  • El sueldo o salario depende de las horas trabajadas. 
  • El crecimiento de las personas está en función de la edad, y otros mas. 
De acuerdo a lo anterior, se puede observar que el valor de una variable depende del de otra. 
Esta relación entre cantidades, generalmente se puede caracterizar a traves del concepto de función.
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