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martes, 25 de enero de 2011

DEFINICION FORMAL DEL CONCEPTO DE LIMITE

En una oportunidad se revisó la idea intuitiva del concepto de límite.
En el ejemplo, se analizó el comportamiento de la función $f$ definida por
$$f(x)=\frac{2x^2+x-3}{x-1}$$ en torno al valor $x=1$, vale decir, "cercanos a 1", pero "no iguales a 1".
En resumen:
  1. Se observó la posibilidad de hacer que el valor de $f(x)$ se aproxime a $5$, tanto como se quiera, tomando los valores de $x$ cercanos a $1$.
  2. Este hecho se expresó como: $$\displaystyle\lim_{x \to 1 }{f(x)}=5$$.
El aspecto 1, se puede enfocar también como la posibilidad de hacer el valor absoluto de la diferencia entre $f(x)$ y $5$ tan pequeño como se quiera, logrando que el valor absoluto de la diferencia entre $x$ y $1$ sea suficientemente pequeño.

Es decir,$$\left |{f(x)-5}\right |$$ se puede hacer tan pequeño como se quiera, siempre que $$\left |{x-1}\right |$$ sea suficientemente pequeño, pero no igual a cero, esto es, observando que $x\neq 1$

Veamos la siguiente tabla de resultados: 
Para precisar estas diferencias, se utilizaran la letras griegas $\epsilon$ (épsilon) y $\delta$ (delta), de la siguiente manera:
  • $\epsilon$ será el número real positivo que indique que tan pequeño se quiere hacer el valor absoluto de la diferencia entre $f(x)$ y $5$
  • $\delta$ será el número real positivo que indique que tan pequeño se quiere hacer el valor absoluto de la diferencia entre $x$ y $1$
Con esta observación, se dice entonces que $$\left|{f(x)-5}\right|$$ será menor que $\epsilon$, siempre que $$\left|{x-1}\right |$$ sea menor que $\delta$, considerando que $$\left|{x-1}\right|\neq 0$$
  • La elección de $\epsilon$ es arbitraria, pero $\delta$ se obtiene a expensas de $\epsilon$
  • Para cada $\epsilon$ se requiere que existe un $\delta$ especifico
  • Mientras más pequeño sea el $\epsilon$ elegido, más pequeño será el $\delta$, correspondiente.
En el ejemplo se tiene que:
$$\displaystyle\lim_{x \to 1 }{f(x)}=5$$, dado que para cada $\epsilon \succ 0$, existe un $\delta\succ 0$, tal que $$\left|{f(x)-5}\right|\prec\epsilon$$, siempre que $0 \prec\left|{x-1}\right |\prec\delta$
En general, para un función $f$ cualquiera, el $$\displaystyle\lim_{x\to c }{f(x)}=L$$,
significa que la diferencia entre $f(x)$ y $L$ puede hacerse tan pequeña como se quiera, haciendo que $x$ tome valores lo suficientemente cercanos a $c$, con la resticción de que $x$ sea distinto de $c$

DEFINICIÓN FORMAL DE LIMITE
Sea $f$ una función definida en un intervalo $I\subset R$, tal que $c\in I$.
Se dice que el límite de $f(x)$ es $L$ cuando x tiende a $c$, si para todo número positivo $\epsilon$ existe un número positivo $\delta$ tal que $f(x)$ está definido y se cumple el siguiente enunciado
$$\left|{f(x)-L}\right|\prec\epsilon$$, siempre que $0 \prec\left|{x-c}\right |\prec\delta$.
De manera abreviada, se puede escribir
$$\displaystyle\lim_{x \to c }{f(x)}=L$$
también:
$$f(x)\rightarrow{L}$$ cuando $$ x\rightarrow{c}$$.  
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