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martes, 25 de enero de 2011

GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMICA

FUNCIÓN LOGARITMICA.
La función logaritmica se define como $f(x)=log_a(x)$, donde $"a"$ es la base, y es un número real mayor que la unidad, esto es
$a\in{\mathbb{R}}, \:\: a\succ 1$
  • $Dom_f=\mathbb{R}^+$.
  • $Rgo_f=\mathbb{R}$.
  • Su representación gráfica depende del valor de $"a"$, para lo cual se distinguen dos casos:i) $0<a<1$ y ii) $a>1$.
Cuando:
  • $log_ax$ aumenta a medida que la variable $x$ aumenta.
  • $log_ax$ es positivo, cuando $ x\succ 1$
Cuando:
  • $log_ax$ disminuye a medida que la variable $x$ aumenta.
  • $log_ax$ es negativo, cuando $0 < x < 1$.
Además:
  • $log_ax$ no está definido cuando $x$ no es positivo.
  • $log_ax=0$, si y sólo si $x=1$.
  • $log_ax=1$, si y sólo si $x=a$.
  • Si $b\succ 0$,la variable $log_ax$, disminuye cuando la variable $x$ aumenta.
  • Si $>0 \prec b\prec 1$, la variable $log_ax$aumenta , cuando la variable x aumenta
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GRAFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

FUNCIÓN EXPONENCIAL.
La función exponencial se define como $f(x)=a^x$, donde $"a"$ es un número real positivo distinto de de la unidad, esto es
$a\in{\mathbb{R}}, \:\: a\neq 1, \:\: a\succ {0}$
  • $Dom_f=\mathbb{R}$.
  • $Rgo_f=\mathbb{R}^+$.
  • Su representación gráfica depende del valor de $"a"$, para lo cual se distinguen dos casos:i) $0<a<1$ y ii) $a>1$.
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GRAFICA DE LA FUNCION RAIZ CUADRADA

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA.
La función raíz cuadrada se define como $f(x)=\sqrt[]{a}$
  • $Dom_f=\mathbb{R}^+\cup\left\{{0}\right\}$.
  • $Rgo_f=\mathbb{R}^+\cup\left\{{0}\right\}$.
  •  Su representación gráfica es como la siguiente:
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GRAFICA DE LA FUNCION VALOR ABSOLUTO

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.
La función valor absoluto se define como $f(x)=\left |{\:x\:}\right |$, donde
$$f(x)= \left\{ \begin{array}{} x, x\geq 0\\ -x, x\prec{0}\end{array}{}\right $$
  • El dominio de definición es el conjunto de los números reales.
  • El rango de f corresponde al conjunto de los números reales no negativos, vale decir, al intervalo $\left[{0, \:+\infty}\right)$. 
  • Su representación gráfica consiste en dos semi rectas que pasan por el origen y están por encima del eje x.
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GRAFICA DE LA FUNCION CUADRATICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA.
La función cuadrática se define como $f(x)=ax^2+bx+c$, donde $a,\:b,\:c\in{\mathbb{R}, \:a\neq{0}}$
  • El dominio de definición es el conjunto de los números reales. 
  • Su representación gráfica es una parábola con eje vertical y vértice $$\left({h,k}\right)=\left({-\frac{b}{2a},\:c-\frac{b^2}{4a}}\right)$$.
  • Si $a>0$, la parábola se abre hacia arriba, y $Rgo_f=\left[k,+\infty\right)$.
  • Si $a<0$, la parábola se abre hacia abajo, y $Rgo_f=\left(-\infty,k\right]$.
  • El corte de la grafica con el eje $"y"$, ocurre en el punto $(0, c)$
  • El corte de la grafica con el eje $"x"$, depende de los valores de la ecuación :
$f(x)=ax^2+bx+c$.
Cuando la ecuación tiene dos soluciones (raices) reales y distintas,
$x_1\neq x_2$
la grafica corta al eje $"x"$ en los puntos:
$\left({x_1,0}\right)$ y $\left({x_2,0}\right)$
  • Si la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales,
    $x_1 = x_2$
    la grafica interseca al eje "x" en el punto: 
$\left({x_1,0}\right)$
  • Si la ecuación no tiene soluciones reales, la grafica no corta al eje real "x".
 
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TECNICA PARA GRAFICAR FUNCIONES ELEMENTALES

Trazar la gráfica de una función, consiste en mostrar las características esenciales de la función en un plano coordenado.
Generalmente, se localizan algunos puntos que determinan su representación gráfica.
Pasos para trazar la gráfica de una función:
  1. Identificar el tipo de función.
  2. Determinar el dominio de la función.
  3. Determinar el corte con el eje $x$. Para esto, se resuelve la ecuación $y=f(x)$, considerando $y=0$.Esto es, $f(x)=0$, se despeja la variable $x$ y se obtiene el punto $(x,0)$.
  4. Determinar el corte con el eje $y$. Para esto se resuelve la ecuación $y=f(x)$, considerando $x=0$.Esto es, $f(0)=y$, se despeja la variable $y$, y se obtiene el punto $(0,y)$.
  5. Elegir algunos valores $(x)$ del dominio y evaluar cada $x$ en la función $f(x)=y$, para obtener los respectivos valores $y$.Es recomendable organizar estos datos en una tabla como la siguiente: 
  6. $x$
    $y = f(x)$
    Pares ordenados $(x,y)$
    Representar cada par ordenado en el plano cartesiano.
  7. Trazar la gráfica de la función según su identificación.
  8. Determinar el rango de la función.
El siguiente enlace contiene información acerca de la representación gráfica de funciones elementales
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GRAFICA DE LA FUNCION LINEAL

FUNCIÓN LINEAL.
La función $f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}$ definida como:$f(x)=ax+b$, donde $a, b\in{\mathbb{R},\:a\neq{0}}$, se denomina función lineal o afín.
  • Tanto el dominio como el rango de definición, de $f$, es el conjunto de los números reales.
  • Su representación gráfica es una línea recta oblicua cuya inclinación depende del valor de a. $(a>0, a<0)$.
  • El valor de $"a"$ se conoce conoce como la pendiente de la recta.
  • Cuando $a>0$, el grafico de la recta es creciente
  • Cuando $a<0$, el grafico de la recta es decreciente.
  • El corte de la grafica con el eje vertical $"y"$, lo representa el punto $(0, b)$. Esto es consecuencia de resolver $f(x)=ax + b$, para $x=0$.
  • El corte de la grafica con el eje horizontal $"x"$, lo representa el punto $(\frac{-b}{a}, 0)$. Esto es consecuencia de resolver $f(x)=0$, es decir, $ax + b=0$.
  • Por geometría, una recta se determina con solo dos punto, por ello, para graficar la función lineal es suficiente calcular sólo dos puntos que le pertenezcan. Generalmente se calcula los puntos: $(0, b)$ y $(\frac{-b}{a}, 0)$.


Caso b=0
La función definida como $f(x)=ax$,donde $a\:\in{\mathbb{R}}$, es un caso particular de la función lineal, donde $b=0$.
  • Tanto el dominio como el rango de definición, de $f$, es el conjunto de los números reales.
  • Su representación gráfica es una línea recta que pasa por el origen $(0,0)$, y su inclinación, sabemos que depende del valor de a.
  • Cuando $a=1$, (pendiente es 1), estamos en el caso de la función identidad definida como $f(x)=x$
Caso a=0


La función definida como $f(x)=b$,donde $b\:\in{\mathbb{R}}$, se conoce como función constante, es también lineal, pero donde $a=0$.
  • El dominio de definición es el conjunto de los números reales.
  • El rango de $f$ coincide con el valor real $b$, esto es $Rgo_f=\left\{{b}\right\}$, vale decir, el rango es el conjunto cuyo unico elemento es $b$.
  • Su representación gráfica es una línea recta paralela al eje $x$, que interseca el eje $"y"$ en el punto $(0,b)$
  • El valor $a=0$ indica que la recta no tiene inclinación.
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GRAFICA DE FUNCIONES


GRÁFICA DE FUNCIONES.
La representación gráfica de una función f, se fundamenta en el concepto de función como el conjunto de pares ordenados de números reales.
Basados en esta definición, se puede decir que: 
Si $f$ es una función, entonces, la grafica de $f$ es el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ en $\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}$ para los que $(x,y)$ es un par ordenado de $f$.
Esto es:
$grafica f =\left\{{\left(x,y\right)\in{\mathbb{R}^2}/ x\in{Dom_f}\wedge\:y=f(x)}\right\}$
  • La gráfica de una función sólo puede ser cortada por un recta vertical en un punto.
Por ejemplo, la función definida como:
$f=\left\{{(-1,3), (2,-1), (0,0), (5,4), (2,3)}\right\}$,
se representa graficamente como:

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