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domingo, 27 de febrero de 2011

FACTORIZACIÓN (Parte III)

Se recomienda ver también:
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS
Caso 1: Utilización de producto notable 1
En este caso, el polinomio se puede expresar como el producto de los binomios $x+a$ y $x+b$, siempre que cumplan las siguientes condiciones para los números "$a$" y "$b$", descritas en el siguiente ejemplo:  
Sea el trinomio  $x^2+3x-28$. Veamos que es del tipo producto notable 1
Para ello,  deben cumplir las condiciones: 
  • $a.b=-28$, su producto sea $-28$ y 
  • $a+b=3$, la suma sea $3$. 
Observe que los números que cumplen con las condiciones anteriores son $-4$ y $7$. 
En efecto, $-4.7=-28$ y $-4+7=3$
Luego, 
$x^2+3x-28=(x-4)(x+7)$

Caso 2: Utilización del producto notable 2, denominado trinomio cuadrado perfecto.
En este caso, se debe cumplir que: 

  • El trinomio debe contener dos términos que sean cuadrados perfectos,y 
  • El otro termino debe ser el producto de la raíces cuadradas de los términos cuadrados perfectos. 
Por ejemplo; el trinomio $16x^2+40x+25$ es del tipo producto notable 2.
Observe que:
  • Los términos $16x^2$ y $25$, que son cuadrados perfectos, es decir, los podemos expresar como $(4x)^2$ y $5^2$, respectivamente. 
  • La raíces cuadradas de los términos cuadrados perfectos son $4x$ y $5$.
  • Además, el término central, $40x$, es producto de $2.(4x)(5)$
Luego, cumple las características para la factorización del trinomio cuadrado perfecto: 
$16x^2+40x+25=(4x+5)^2$
Caso 3: Utilización del producto notable 4.
Para esta factorización se requiere de la técnica del tanteo.
Veamos con un ejemplo: $15x^2+7xy-2y^2$
Para expresar el polinomio anterior como el producto de $(ax+by)(cx+dy)$, se debe:
  • Hallar dos números "$a$" y "$c$" cuyo producto sea $15$
  • Hallar dos números "$b$" y "$d$" cuyo producto sea $-2$
  • La suma "$ad+bc$" sea 7. 
  • Utilizar le técnica del tanteo, en este caso, si "$a$" y "$c$" son positivos, las posibilidades son $1$ y $15$ ó $3$ y $5$. 
  • Igualmente, las posibilidades para "$b$" y "$d$" son $1$ y $-2$ ó $-1$ y $2$. 
Finalmente, se obtiene el término central $7xy$, y se tiene:
$15x^2+7xy-2y^2=(3x+2y)(5x-y)$
FACTORIZACIÓN POR SUMAS Y DIFERENCIAS DE CUBOS
Para factorizar la suma de dos cubos se utiliza la formula:
$x^3+y^2=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
Mientras que para factorizar la diferencia de dos cubos se usa la fórmula: 
 $x^3-y^2=(x-y)(x^2+xy+y^2)$
Ejemplo:
El binomio $27-b^3$ es la diferencia de los cubos $3^3$ y $b^3$. Por tanto:
$27-b^3=3^3-b^3$
$=(3-b)(3^2+3b+b^2)$
$=(3-b)(9+3b+b^2)$
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FACTORIZACIÓN (Parte II)

FACTORIZACIÓN POR UN FACTOR MONOMIAL COMÚN.
Este método consiste en expresar el polinomio como producto de un factor monomial común utilizando la propiedad distributiva. 
En este caso, el polinomio puede escribirse como el producto del factor monomial común y el cociente de dividir el polinomio dado entre el factor común.
Por ejemplo, "$a$" es el factor monomial común de cada uno de los términos del trinomio $ax+ay+az$, por tanto,
     $ax+ay+az= a(x+y+z)$
FACTORIZACIÓN POR DIFERENCIA DE CUADRADOS.
En este caso, el binomio se expresa como la diferencia de dos cuadrados, aplicando el producto notable 3. 
Ejemplo: 
El binomio $x^2-9$, es la diferencia de los cuadrados $x^2$ y $3^2$, por lo tanto, 
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
Vea también: 
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FACTORIZACIÓN (Parte I)

La factorización es el proceso matemático que consiste en expresar un número (o un objeto como una matriz o un polinomio)  como producto de otros números u objetos llamados factores, tal que el producto de los factores resulte el numero (objeto) original.
El Teorema fundamental de la aritmética describe la factorización de los números enteros, mientras que el Teorema Fundamental del álgebra explica la factorización de polinomios.
FACTORIZACIÓN NUMÉRICA
Antes de revisar la factorización de polinomios, revisemos la factorización numérica de los números naturales. 
Un numero natural es primo si se expresa como factores numéricos de si mismo y el 1.
Si el número natural no es primo, entonces es compuesto. Se dice que un numero compuesto está en forma completamente factorizada cuando se expresa como producto de sus factores primos. 
Por ejemplo: 
$120=4.30$
$=(2^2)(5.6)$
$=(2^2)(5.2.3)$
$=2^3.5.3$  
FACTORIZACIÓN POLINÓMICA 

Análogamente, la factorización de un polinomio es el proceso de obtener los factores de dicho polinomio. 
Se dice que un polinomio con coeficientes enteros es primo, cuando no tiene factores monomios o polinomios excepto a sí mismo y 1. 
Asimismo, un polinomio con coeficientes enteros está en su forma completamente factorizada cuando cada uno de sus factores polinomiales es primo. 
Por ejemplo: 
En la factorización $x^2-36=(x-6)(x+6)$, se tiene que $x-6$ y $x+6$  son factores del polinomio $x^2-36$
Vea también: 
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