INECUACIONES Y DESIGUALDADES DE NUMEROS REALES

Desigualdades

El ordenamiento de $\mathbb{R}$, se lleva a cabo a través de las relaciones denotadas por los símbolos $\prec$; $\succ$; $\leq$ y $\geq$ que significan "menor que"; "mayor que"; "menor o igual que" y "mayor o igual que" respectivamente.
 

Sean $\ x,\,y,\,z,\,\in \mathbb{R}$

Definición 1. 

1. $x\prec y \Leftrightarrow y-x\succ 0 $
2. $x\succ y \Leftrightarrow x-y\succ 0 $

Definición 2. 

1. $x\leq y\Leftrightarrow x\prec y \vee x=y$
2. $x\geq y\Leftrightarrow x\succ y \vee x=y$

Definición 3.

Los enunciados $\prec$; $\succ$; $\leq$ y $\geq$, se denominan desigualdades.

Definición 4.  Desigualdad contínua.

1. $x\prec y\prec z\Leftrightarrow x\prec y \wedge y\prec z$
2. $x\leq y\leq z\Leftrightarrow x\leq y \wedge y\leq z $
3. $x\prec y\leq z\Leftrightarrow x\prec y \wedge y\leq z$
4. $x\leq y\prec z\Leftrightarrow x\leq y \wedge y\prec z$

Definición 5. 

1. $a\succ 0\Leftrightarrow a\in \mathbb{R}^+$
2. $a\prec 0\Leftrightarrow a\in \mathbb{R}^-$

Las siguientes propiedades se enuncian sin demostración y son consecuencia inmediata de la propiedad de orden.

Intervalos.

Los siguientes subconjuntos de \mathbb{R}, se denomina Intervalos.

Supóngase $ a,\,b,\,\in \mathbb{R}$ y $a\succ b$

Definición 1.  

Llamaremos intervalo abierto y lo denotado por (a, b), al siguiente conjunto:$(a,b)=\left\{ x\in \mathbb{R}/a\prec x\prec b \right\}$

Definición 2  

Llamaremos intervalo cerrado de extremos a y b y lo denotado por [a, b], al siguiente conjunto:$[a,b]=\left\{ x\in \mathbb{R}/a\leq x\leq b \right\}$

Definición 3  

Llamaremos intervalo semi-abierto por la izquierda, al siguiente conjunto denotado por (a, b]:$(a,b]=\left\{ x\in \mathbb{R}/a\prec x\leq b \right\}$

Definición 4  

Llamaremos intervalo semi-abierto por la derecha al siguiente conjunto denotado por [a, b):$[a,b)=\left\{x\in \mathbb{R}/a\leq x\prec b \right\}$

Los símbolos "más infinito o infinito positivo"$+\infty$ y $-\infty$ "menos infinito o infinito negativo",  no se debe confundir con números reales.

Definición 5.1
$ \big(-\infty, b\big)= \big\{x \in R\mid x \prec b\big\}$ 

Definición 5.2

$ \left(-\infty, b\right]=\big\{x \in\mathbb{R} \mid x  \preceq b\big\}$

Definición 5.3
$\left(a ,+\infty\right)=\big\{x \in\mathbb{R} \mid x \succ a\big\}$

Definición 5.4

$\left[a ,+\infty\right)=\big\{x \in\mathbb{R} \mid x\geq a\big\}$

Definición 5.5

$(-\infty ,+\infty)= \mathbb{R} $

Solución de desigualdades.

Llamamos solución de una desigualdad de variable real x, al conjunto de todos los números reales que, al reemplazarlos en la desigualdad la convierte en una proposición verdadera.

A diferencia de las ecuaciones, cuya solución, en general es un número o quizá un conjunto finito de números, el conjunto solución, de una desigualdad consta por lo común de:

1. Un intervalo,
2. Unión infinita de intervalos y
3. En algunos casos el conjunto vacío.

Por ejemplo:

• El conjunto solución de la desigualdad $x^{2}-x\prec 6$, es el intervalo $\left(-2,\, 3 \right)$.
• El conjunto solución de la desigualdad $x^{2}-x\geq 6$,es el intervalo $\left(-\infty, -2 \right]\bigcup \left[3, +\infty \right)$. 
• El conjunto solución de la desigualdad $x^{2}+5 = 4$, es el conjunto vacío.

Para resolver desigualdades se deben utilizar las propiedades de orden , considerando los siguientes aspectos:

• Se puede sumar (restar) la misma cantidad en ambos miembros de una desigualdad.
• Se puede multiplicar (dividir) ambos miembros de la desigualdad por una misma cantidad positiva y se mantiene el sentido de la misma.  
• Se puede multiplicar (dividir) ambos miembros de la desigualdad por una misma cantidad negativa y se invierte el sentido de la misma.

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OPERACIONES NUMERICAS COMBINADAS

Para resolver operaciones combinadas, se considera la jerarquía u orden de resolución entre ellas. 

En ese sentido, se debe respetar el siguiente criterio:

1. Resolver las operaciones planteadas entre los paréntesis, corchetes y las llaves. 
2. Calcular las potencia y raices.
3. Resolver las multiplicaciones y divisiones, vale decir, obtener los productos y cocientes.
4. Efectuar las suma y las restas.  

Determine el valor de X:

$$x=\frac{\left(\frac{1}{4} \right)^{-5}-\left(\frac{2}{3} \right)^{-5}}{\left(\frac{1}{4} \right)^{-3}-\left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}$$

Solución:

$$x=\frac{\frac{1}{\left( \frac{1}{4}\right)^5}-\frac{1}{\left( \frac{2}{3}\right)^5}}{\frac{1}{\left( \frac{1}{4}\right)^3}-\frac{1}{\left( \frac{2}{3}\right)^3}}$$ [Potencia de exponente negativo].

$$x=\frac{\frac{1}{\frac{1}{4^5}}-\frac{1}{\frac{2^5}{3^5}}}{\frac{1}{\frac{1}{4^3}}-\frac{1}{\frac{2^3}{3^3}}}$$ [Potencia de un cociente]

$$x=\frac{4^5-\frac{3^5}{2^5}}{4^3-\frac{3^3}{2^3}}$$[Inverso de un número racional]

$$x=\frac{\frac{4^5\cdot{2^5}-3^5}{2^5}}{\frac{4^3\cdot{2^3}-3^3}{2^3}}$$[Diferencia de fracciones]

$$x=\frac{\left(4^5\cdot{2^5}-3^5 \right)\cdot{2^3}}{\left(4^3\cdot{2^3}-3^3 \right)\cdot{2^5}}$$[División de fracciones]

$$x=\frac{\left(\left(2^2\right)^5\cdot{2^5}-3^5 \right)\cdot{2^3}}{\left(\left(2^2 \right)^3\cdot{2^3}-3^3 \right)\cdot{2^5}}$$[Interpretando 4 como potencia de potencia]

$$x=\frac{\left(2^{10}\cdot{2^5}-3^5 \right)\cdot{2^3}}{\left( 2^6\cdot{2^3}-3^3 \right)\cdot{2^5}}$$[Potencia de potencia]

$$x=\frac{\left(2^{15}-3^5 \right)\cdot{2^3}}{\left( 2^{9}-3^3 \right)\cdot{2^5}}$$[Multiplicación de potencias de igual base]

$$x=\frac{\left(2^{15}-3^5 \right)}{\left( 2^{9}-3^3 \right)}\cdot{2^{3-5}}$$[Cociente de potencias de igual base]

$$x=\frac{32768-243}{\left(512 - 27 \right)\cdot{4}}$$[Efectuando las potencias indicadas]

$$x=\frac{32525}{485\cdot{4}}$$[Efectuando las operaciones indicadas]

Finalmente, al simplificar tenemos: $$x=\frac{6505}{388}$$

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OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS REALES

Axiomas de Campo

Para todo $\ a,\,b,\,c,\,d,\,\in \mathbb{R}$ se cumple:

Axioma 1.  Ley de cerramiento.   

• $a+b$, es un número real único.
• $a.b$, es un número real único.

Axioma 2.  Leyes conmutativas.

• $a+b=b+a$, conmutativa para la operación ( + )
• $a.b=b.a$, conmutativa para la operación ( . )

Axioma 3.  Leyes asociativas.  

• $a+(b+c)=(a+b)+c$, asociativa para la operación ( + )
• $a.(b.c)=(a.b).c$, asociativa para la operación ( . )

Axioma 4.  Ley distributiva.  

• $a.(b+c)=(a.b)+(a.c)$

Axioma 5.  Existencia de elementos neutros (de identidad o modulativa)   

• Existe el número real $0$ (cero), tal que para todo $a\in \mathbb{R}$ se cumple: $a+0=0+a=a$ 

• Existe el número real $1$(uno), tal que para todo $a\in \mathbb{R}$ se cumple: $a.1=1.a=a$ 

El número real 0 es se conoce como elemento neutro para la adición. 
El número real 1 es se conoce como elemento neutro para la multiplicación.

 
Axioma 6.;Existencia del inverso aditivo.

• Para cada número real $a\in \mathbb{R}$, existe un real único, llamado inverso aditivo o simétrico de $a$, que se denota $- a$, tal que:$a+(-a)=0$

Axioma 7.Existencia del inverso multiplicativo.

• Para cada número real $a\in \mathbb{R}$, existe un real único, llamado inverso multiplicativo o recíproco de $a$, que se denota $a^{-1}$ o $\frac{1}{a}$, tal que:$a.a^{-1} =a.\frac{1}{a} =1$.

Observe que - a no significa un número negativo, aunque en algunas ocasiones puede serlo. Note que -3 es negativo y es el opuesto de 3, mientras que -(-5) es positivo y es el opuesto de –5. 
Axiomas de Orden.

Los axiomas o propiedades del sistema de los números reales que se enuncian a continuación se expresan en términos de un cierto subconjunto especial de $\mathbb{R}$este subconjunto denotado por $\mathbb{R}^+$se identifica con el conjunto de los reales positivos.

En general, cualquier campo que tenga un subconjunto P con las propiedades mencionadas a continuación, es llamado un campo ordenado.

En el caso particular que se estudiará, estas propiedades permiten establecer que el sistema de los números reales es un campo ordenado.

Axioma de orden 1.

Existe $\mathbb{R}^+\subset \mathbb{R}$ tal que, si $a,\,b\, \varepsilon \mathbb{R}^+$, entonces:

• $a+b\in{\mathbb{R}^+}$ y $a.b\in{\mathbb{R}^+}$

Para cada $a\in{\mathbb{R}^+}$, una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera:

• $a\in{\mathbb{R}^+}$
• $a=0$
• $-a\in{\mathbb{R}^+}$

Los elementos $a\in \mathbb{R}$ para los cuales $a\in{\mathbb{R}^+}$, se denominan:reales positivos.

Los elementos $a\in \mathbb{R}$ para los cuales $-a\in{\mathbb{R}^+}$, se denominan:reales negativos.

Vea también el conjunto de los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. 

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NUMEROS REALES

Se define el Conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales como:$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \mathbb{I}$

Al igual que en los anteriores sistemas numéricos, el sistema de los números reales nace para superar la limitación de solucionar ecuaciones como $x^2-2=0$. Es por ello, que se impone la necesidad de construir un conjunto, que contenga a los racionales, mantenga las propiedades y ofrezca solución a la ecuación anterior.  

• En el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales, se definen dos operaciones a saber: la adición (+) y la multiplicación (.), las cuales verifican todas las propiedades estudiadas en los anteriores sistemas numéricos. Las propiedades de los números reales se denominan axiomas de campo.
• Un número real siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa y viceversa. Esta propiedad permite la posibilidad de tratar a los números reales como puntos de una recta.
• El conjunto $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}-\left\{{0}\right\}$,es decir, los reales sin el cero.
• El conjunto $\mathbb{R}^+$, se denomina los reales positivos (No negativos).
• El conjunto $\mathbb{R}^-$, se denomina los reales negativos (No positivos).
• El conjunto $ \mathbb{R}=\mathbb{R}^+\cup\left\{{0}\right\}\cup \mathbb{R}^-$.

Vea también las propiedades de los números reales y el conjunto de los números naturales,  enteros,  racionales e irracionales. 

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