DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.

Sea f una función definida de $A$ en $B$. Vale decir,

$f:A\rightarrow{B}$

Se dice que $f$ es una función real de variable real si $A$ y $B$ son subconjuntos de los números reales; es decir,

$A\subseteq {\mathbb{R}$ y $B\subseteq {\mathbb{R}$

Cuando una función se define de manera algebraica, en la mayoría de los casos, interesa determinar los valores de la variable para los cuales el enunciado algebraico representa un número real, es decir, interesa conocer su dominio. 

Antes de avanzar, recordemos los siguientes criterios, necesarios para determinar el dominio y rango de las funciones reales de variable real: 

• Si $$\frac{a}{b}$$ es real, entonces $b\neq 0$, esto es, el denominador debe ser distinto de cero.
• Si $$\sqrt[n]{a}$$ es real, con $n$ par, entonces $a \geq 0$, esto es, la cantidad subradical debe ser mayo o igual que cero.

2.2.2 DETERMINAR EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.

Para determinar el dominio de una función $f$, de acuerdo a su regla $y=f(x)$, se analizan todos lo valores posibles de la variable $x$, tal que $f(x)$ es un número real. Esto es, se despeja la variable $y$, para estudiar el comportamiento de la variable $x$. Al hacer este despeje, se consideran los siguientes casos:

• La variable $x$ forma parte del denominador de una fracción.
• La variable $x$ forma parte de un radical par.
• La variable $x$ no forma parte de ni de un dominador ni de un radical.

2.2.2.1 LA VARIABLE X FORMA PARTE DEL DENOMINADOR.

Veamos un ejemplo.

Sea $f$ una función definida por la expresión:
$$f(x)=\frac{5}{2x-3}$$.

Determinar su dominio.

En este caso, evaluando para el denominador distinto de cero, tenemos:
$\begin{matrix}2x-3\neq 0\Rightarrow{2x\neq 0}\\\Rightarrow{x\neq\frac{3}{2}}\end{matrix}$

Esto es, todos los reales excepto $\frac{3}{2}$ tienen imagen mediante $f$ en el conjunto de llegada, por lo tanto, el conjunto dominio de $f$ se escribe asi:$\mbox{Dom f}=R-\left\{{\frac{3}{2}}\right\}$

2.2.2.2 LA VARIABLE X FORMA PARTE DE UN RADICAL PAR.

Por ejemplo:

Sea $f$ la función definida por la expresión:
$f(x)=\sqrt[]{3-3x}$.

Determinar su dominio.

En este caso, $f$ es una función real si la cantidad subradical es no negativa, vale decir, mayor o igual que cero. Esto es:

$\begin{matrix}3-3x\geq 0 \Rightarrow -3x\geq -3\\\Rightarrow x\leq 1 \\\Rightarrow{Dom f}= \left(-\infty, 1\right]\end{matrix}$

Este resultado indica que la función se define sólo para los números reales menores o iguales a 1.

2.2.2.3 LA VARIABLE X NO FORMA PARTE DE UN DENOMINADOR NI DE UN RADICAL PAR.

Para este caso, el conjunto dominio de f, es el conjunto de los números reales. Veamos el ejemplo: 

Sea $f$ una función definida por la expresión:
$$f(x)=\frac{3x-2}{5}$$. 

Determinar su dominio.

La expresión $$\frac{3x-2}{5}$$,
no tiene restricciones, por lo tanto cualquier número real tiene imagen en el conjunto de llegada, mediante $f$, y escribimos que $Dom f = R$.

2.2.3 DETERMINAR EL RANGO DE UNA FUNCIÓN.

El rango de una función $f$, es el conjunto de los números reales, que son imágenes de algún elemento del dominio, mediante $f$.

Determinar el rango, consiste en analizar todos los valores posibles que pueda tomar la variable $y$, tal que la variable $x$ sea un número real. Para esto, se despeja la variable $x$ en función de la variable $y$.

Por ejemplo:

El rango de la función descrita en el punto 2.2.2.1, se calcula asi:

$$\begin{matrix}y=\frac{5}{2x-3}\Rightarrow 2x-3=\frac{5}{y}\\\Rightarrow 2x=\frac{5}{y}+3\\\Rightarrow 2x=\frac{5+3y}{y}\\\Rightarrow x=\frac{5+3y}{2y}\\ \end{matrix}$$

Lo anterior muestra que: $$Rgo_f=\mathbb{R}-\left\{{0}\right\}$$

El siguiente enlace contiene una guía de ejercicios de funciones.

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CONCEPTOS BASICOS DE UNA FUNCION

Ya conocemos que la palabra función se utiliza para expresar relaciones o vínculos de variables respecto a otras.

En el contexto matemático, el concepto de función tiene el mismo significado, pero de acuerdo a la rigurosidad de la ciencia, es necesario que se definan algunos conceptos básicos.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.

Supóngase que existen dos conjunto $A$ y $B$, no vacíos.

Llamaremos función a la relación o regla de correspondencia entre los conjuntos $A$ y $B$, que satisface las siguientes condiciones:

1. Todos los elementos del conjunto $A$, deben estar relacionados con algún elemento del conjunto $B$.
2. A cada elemento del conjunto $A$, le corresponde un y sólo un elemento del conjunto $B$.

Estas dos condiciones se pueden expresar de la siguiente manera:

Si $A$ y $B$ son dos conjunto, no vacíos, llamamos función de $A$ en $B$ a la relación o correspondencia que asocia a todo elemento de $A$, con un y sólo un elemento de $B$.

Esta correspondencia (o regla) se denota por $f$, y se escribe como: $f:A\rightarrow{B}$, que se lee "$f$ es una función de $A$ en $B$", entendiendo que $f$ es una relación que vincula a un elemento $x\in{A}$, con un único elemento $y\in{B}$.

El elemento $y\in{B}$, se dice que es la imagen de x mediante $f$, lo cual se indica escribiendo $y=f(x)$

El elemento $x\in{A}$, se denomina pre-imagen de $f$.

El conjunto $A$, se denomina Dominio de la función, (o conjuto de partida).

El conjunto $B$, se denomina Codominio de la función, (o conjunto de llegada) 

El conjunto de las imagenes de $f$ es el rango (Rgo) de la función. Es decir, $\mbox{Rango }de\mbox{ f}=\left\{{f(x): x\in{A}}\right\}$.

Es claro que $Rgo\subseteq{Codom}$.
ELEMENTOS NECESARIOS PARA DEFINIR UNA FUNCIÓN.

Se dice que una función $f$, esta bien definida, si se conocen los siguientes elementos:

• El dominio.
• El Codominio.
• La ley o regla de correspondencia, $f(x)$, que indica la forma en que $f$ asigna a cada $"x"$ del dominio, algun $"y"$ del Codominio.

FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN.

Una función se puede expresar por una de las siguientes formas:

Mediante un enunciado: en este caso, la función se expresa enunciando la propiedad que establece la relación o correspondencia entre los elementos del dominio y del codominio.Por ejemplo:

• Sean $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$, el conjunto de los números naturales y enteros espectivamente. Se puede formular la siguiente función: 

$f:\mathbb{N}\rightarrow{\mathbb{Z}}$,

• como la función que: "a cada natural, le asocia el mismo número disminuido en 10". En este caso, el enunciado describe a la función y a los conjuntos que la definen.

Mediante un diagrama de venn: en esta forma, la función se representa visualmente a traves de flechas que relacionan los elementos de los conjuntos. Por ejemplo:

Indicando la imagen de cada elemento: en esta forma, la función se define con las imagenes  correspondiente  a cada elementos del dominio, mediante f.

Por ejemplo, la función definida por,

$f: \left\{{2, 4}\right\}\rightarrow{\mathbb{Q}}$, tal que:

• $f(2)=\frac{2}{3}$
• $f(4)=\frac{4}{3}$, es una función que a todo elemento del dominio, le hace corresponder su tercera parte.

Mediante pares ordenados: la función se expresa como el conjunto de pares ordenados de números reales de la forma $f(x)$, donde:

• no hay dos pares ordenados distintos que tengan el mismo primer elemento. Es decir, $y=f(x)$ es unica para un valor específico de $x$.
• los valores $x$ representan los elementos del dominio.
• los valores resultantes $y=f(x)$, reprensentan el contradominio de la función.

Por ejemplo:

• La función del ejemplo anterior, se puede representar como $f=\left\{{\left(2, \frac{2}{3} \right);\left(4, \frac{4}{3} \right) }\right\}$

Mediante una expresión algebraica: esta es la forma más utilizada, e indica a través de un modelo matematico la relación entre los elementos del dominio con su imagen. Por ejemplo:

• La función $f:\mathbb{Z}\rightarrow{\mathbb{Z}}$, que asocia "cada entero con su cubo aumentado en uno", se puede expresar mediante la siguiente fómula matemática, donde si x, es culaquier elemento del dominio, entonces su imagen viene dada por $f(x)=x^3+1$
• Esta función, se expresa como: $f:\mathbb{Z}\rightarrow{\mathbb{Z}}$, tal que $f(x)=x^3+1$.

Guía de ejercicios resueltos 

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IDEA INTUITIVA DE FUNCION

El concepto de función, es uno de los conceptos más importantes de las matemáticas. Su aplicación es notable en otras ciencias como la física, química, computación, etc.

Intuitivamente, una función es el desempeño de un conjunto de actividades de uno o varios elementos para lograr un objetivo concreto y bien definido.

Es por ello, que escuchamos expresiones como: 

• La oferta de un bien o servicio está en función de su demanda.
• La demanda de un bien o servicio es una función del precio.
• La producción esta en función de la infraestructura maquinaria. 
• Los impuestos se pagan en función de los ingresos.
• Los resultados obtenidos en las pruebas es una función del tiempo dedicado a estudiar.
• El sueldo o salario depende de las horas trabajadas. 
• El crecimiento de las personas está en función de la edad, y otros mas. 

De acuerdo a lo anterior, se puede observar que el valor de una variable depende del de otra. 

Esta relación entre cantidades, generalmente se puede caracterizar a traves del concepto de función.

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