COORDENADAS RECTANGULARES

PRODUCTO CARTESIANO.

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos. Llamaremos producto cartesiano de $A$ y $B$, denotado por $A\times{B}$, al conjunto cuyos elementos son de la forma (a,b), tal que $a\in A$, $b\in B$. En símbolos:$A\times{B}=\left\{{\left(a,b\right): a\in A, b\in B}\right\}$

Supongase que $A={1,2,3}$ y $B={1,2}$. El producto cartesiano se representa como
$A\times{B}=\left\{{\left(1,1\right),\:\left(1,2\right),\:\left(2,1\right),\: \left(2,2\right),\: \left(3,1\right),\: \left(3,2\right)}\right\}$.

PARES ORDENADOS.

Los elementos $(a,b)$ del conjunto $A\times{B}$, se denominan pares ordenados, y reciben este nombre dado que si:

$a\in A$; $b\in B$; $a\neq b$

entonces

$\left(a,b)\neq\left(b,a)$

En el ejemplo anterior,

$\left(1,2)\neq\left(2,1)$

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

Así como los números reales se pueden asociar a cada punto de la recta real, (espacio unidimensional) también el conjunto $\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}$, vale decir, los pares ordenados, se pueden representar en un sistema denominado de coordenadas rectangulares (espacio bidimensional).

Un sistema de coordenadas rectangulares consiste en un par de rectas , una vertical (eje y) y otra horizontal (eje x), perpendiculares entre si y graduadas, cuya intersección es el punto O=(0,0), denominado origen. Estas rectas dividen al plano en cuatro sectores, denominados cuadrantes.

Cada cuadrante se enumera como I, II, III y IV.

Este sistema también se conoce como plano cartesiano y permite asociar a cada par ordenado (x,y) de números reales, su correspondiente punto en el plano.

Se dice que cada punto (a,b)  del plano tiene coordenadas a y b, donde (a) es la abscisa y (b) es la ordenada.

Por ejemplo, el punto (-3, 1), tiene coordenadas -3 y 1.

Además -3 es la abscisa y 1 es la ordenada.

Las coordenadas de un punto son positivas o negativas, segun el cuadrante que ocupen.

Por ejemplo, sean x, y las coordenadas de un punto P, entonces si:

• P está en el primer cuadrante, x >0, y>0.
• P está en el segundo cuadrante, x<0, y>0.
• P está en el tercer cuadrante, x<0, y<0.
• P esta en cuarto cuadrante, x>0, y <0. 

A cada punto P del plano se le asocia exactamente un par ordenado de números reales (a,b) y a cada par ordenado de números reales se asocia exactamente un punto del plano. 

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GRAFICA DE FUNCIONES

GRÁFICA DE FUNCIONES.

La representación gráfica de una función f, se fundamenta en el concepto de función como el conjunto de pares ordenados de números reales.

Basados en esta definición, se puede decir que: 

Si $f$ es una función, entonces, la grafica de $f$ es el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ en $\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}$ para los que $(x,y)$ es un par ordenado de $f$.

Esto es:

$grafica f =\left\{{\left(x,y\right)\in{\mathbb{R}^2}/ x\in{Dom_f}\wedge\:y=f(x)}\right\}$

• La gráfica de una función sólo puede ser cortada por un recta vertical en un punto.

Por ejemplo, la función definida como:
$f=\left\{{(-1,3), (2,-1), (0,0), (5,4), (2,3)}\right\}$,
se representa graficamente como:

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DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.

Sea f una función definida de $A$ en $B$. Vale decir,

$f:A\rightarrow{B}$

Se dice que $f$ es una función real de variable real si $A$ y $B$ son subconjuntos de los números reales; es decir,

$A\subseteq {\mathbb{R}$ y $B\subseteq {\mathbb{R}$

Cuando una función se define de manera algebraica, en la mayoría de los casos, interesa determinar los valores de la variable para los cuales el enunciado algebraico representa un número real, es decir, interesa conocer su dominio. 

Antes de avanzar, recordemos los siguientes criterios, necesarios para determinar el dominio y rango de las funciones reales de variable real: 

• Si $$\frac{a}{b}$$ es real, entonces $b\neq 0$, esto es, el denominador debe ser distinto de cero.
• Si $$\sqrt[n]{a}$$ es real, con $n$ par, entonces $a \geq 0$, esto es, la cantidad subradical debe ser mayo o igual que cero.

2.2.2 DETERMINAR EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.

Para determinar el dominio de una función $f$, de acuerdo a su regla $y=f(x)$, se analizan todos lo valores posibles de la variable $x$, tal que $f(x)$ es un número real. Esto es, se despeja la variable $y$, para estudiar el comportamiento de la variable $x$. Al hacer este despeje, se consideran los siguientes casos:

• La variable $x$ forma parte del denominador de una fracción.
• La variable $x$ forma parte de un radical par.
• La variable $x$ no forma parte de ni de un dominador ni de un radical.

2.2.2.1 LA VARIABLE X FORMA PARTE DEL DENOMINADOR.

Veamos un ejemplo.

Sea $f$ una función definida por la expresión:
$$f(x)=\frac{5}{2x-3}$$.

Determinar su dominio.

En este caso, evaluando para el denominador distinto de cero, tenemos:
$\begin{matrix}2x-3\neq 0\Rightarrow{2x\neq 0}\\\Rightarrow{x\neq\frac{3}{2}}\end{matrix}$

Esto es, todos los reales excepto $\frac{3}{2}$ tienen imagen mediante $f$ en el conjunto de llegada, por lo tanto, el conjunto dominio de $f$ se escribe asi:$\mbox{Dom f}=R-\left\{{\frac{3}{2}}\right\}$

2.2.2.2 LA VARIABLE X FORMA PARTE DE UN RADICAL PAR.

Por ejemplo:

Sea $f$ la función definida por la expresión:
$f(x)=\sqrt[]{3-3x}$.

Determinar su dominio.

En este caso, $f$ es una función real si la cantidad subradical es no negativa, vale decir, mayor o igual que cero. Esto es:

$\begin{matrix}3-3x\geq 0 \Rightarrow -3x\geq -3\\\Rightarrow x\leq 1 \\\Rightarrow{Dom f}= \left(-\infty, 1\right]\end{matrix}$

Este resultado indica que la función se define sólo para los números reales menores o iguales a 1.

2.2.2.3 LA VARIABLE X NO FORMA PARTE DE UN DENOMINADOR NI DE UN RADICAL PAR.

Para este caso, el conjunto dominio de f, es el conjunto de los números reales. Veamos el ejemplo: 

Sea $f$ una función definida por la expresión:
$$f(x)=\frac{3x-2}{5}$$. 

Determinar su dominio.

La expresión $$\frac{3x-2}{5}$$,
no tiene restricciones, por lo tanto cualquier número real tiene imagen en el conjunto de llegada, mediante $f$, y escribimos que $Dom f = R$.

2.2.3 DETERMINAR EL RANGO DE UNA FUNCIÓN.

El rango de una función $f$, es el conjunto de los números reales, que son imágenes de algún elemento del dominio, mediante $f$.

Determinar el rango, consiste en analizar todos los valores posibles que pueda tomar la variable $y$, tal que la variable $x$ sea un número real. Para esto, se despeja la variable $x$ en función de la variable $y$.

Por ejemplo:

El rango de la función descrita en el punto 2.2.2.1, se calcula asi:

$$\begin{matrix}y=\frac{5}{2x-3}\Rightarrow 2x-3=\frac{5}{y}\\\Rightarrow 2x=\frac{5}{y}+3\\\Rightarrow 2x=\frac{5+3y}{y}\\\Rightarrow x=\frac{5+3y}{2y}\\ \end{matrix}$$

Lo anterior muestra que: $$Rgo_f=\mathbb{R}-\left\{{0}\right\}$$

El siguiente enlace contiene una guía de ejercicios de funciones.

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