TEOREMAS DE LIMITE

Sea $f$ una función definida en un intervalo $I\subset R$, tal que $a\in I$.

Teorema 1. (Funciones iguales).

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=M$, entonces $L=M$.

Teorema 2.

Si $m$ y $b$ son dos constantes cualquiera, entonces $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{(mx+b)}=m.a+b$

Teorema 3.(Límite de una constante)

$\displaystyle\lim_{x \to{a}}{c}=c$, para cualquier real $a$, cuando $c$ es una constante.

Teorema 4.(Límite obvio)

Si $a$ es un número real, entonces $\displaystyle\lim_{x\to{a}}{x}= a$

Teorema 5.(Límite de una suma)

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=M$, entonces
$\displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)\pm g(x)]}=L\pm M$

Teorema 6.(Límite de un producto)

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=M$, entonces
$\displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)\times g(x)]}=L\times M$

Teorema 7.(Límite de un cociente)

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$, $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)}=M$ y $M\ne 0$, entonces $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{L}{M}$

Teorema 8.

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $n$ es cualquier entero positivo, entonces $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)]^n}=L^n$

Teorema 9.

Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $n$ es cualquier entero positivo, entonces $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\sqrt[n]{f(x)}}=\sqrt[n]{L}$

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DEFINICION FORMAL DEL CONCEPTO DE LIMITE

En una oportunidad se revisó la idea intuitiva del concepto de límite.

En el ejemplo, se analizó el comportamiento de la función $f$ definida por
$$f(x)=\frac{2x^2+x-3}{x-1}$$ en torno al valor $x=1$, vale decir, "cercanos a 1", pero "no iguales a 1".

En resumen:

1. Se observó la posibilidad de hacer que el valor de $f(x)$ se aproxime a $5$, tanto como se quiera, tomando los valores de $x$ cercanos a $1$.
2. Este hecho se expresó como: $$\displaystyle\lim_{x \to 1 }{f(x)}=5$$.

El aspecto 1, se puede enfocar también como la posibilidad de hacer el valor absoluto de la diferencia entre $f(x)$ y $5$ tan pequeño como se quiera, logrando que el valor absoluto de la diferencia entre $x$ y $1$ sea suficientemente pequeño.

Es decir,$$\left |{f(x)-5}\right |$$ se puede hacer tan pequeño como se quiera, siempre que $$\left |{x-1}\right |$$ sea suficientemente pequeño, pero no igual a cero, esto es, observando que $x\neq 1$

Veamos la siguiente tabla de resultados: 

Para precisar estas diferencias, se utilizaran la letras griegas $\epsilon$ (épsilon) y $\delta$ (delta), de la siguiente manera:

• $\epsilon$ será el número real positivo que indique que tan pequeño se quiere hacer el valor absoluto de la diferencia entre $f(x)$ y $5$

• $\delta$ será el número real positivo que indique que tan pequeño se quiere hacer el valor absoluto de la diferencia entre $x$ y $1$

Con esta observación, se dice entonces que $$\left|{f(x)-5}\right|$$ será menor que $\epsilon$, siempre que $$\left|{x-1}\right |$$ sea menor que $\delta$, considerando que $$\left|{x-1}\right|\neq 0$$

• La elección de $\epsilon$ es arbitraria, pero $\delta$ se obtiene a expensas de $\epsilon$
• Para cada $\epsilon$ se requiere que existe un $\delta$ especifico
• Mientras más pequeño sea el $\epsilon$ elegido, más pequeño será el $\delta$, correspondiente.

En el ejemplo se tiene que:

$$\displaystyle\lim_{x \to 1 }{f(x)}=5$$, dado que para cada $\epsilon \succ 0$, existe un $\delta\succ 0$, tal que $$\left|{f(x)-5}\right|\prec\epsilon$$, siempre que $0 \prec\left|{x-1}\right |\prec\delta$

En general, para un función $f$ cualquiera, el $$\displaystyle\lim_{x\to c }{f(x)}=L$$,

significa que la diferencia entre $f(x)$ y $L$ puede hacerse tan pequeña como se quiera, haciendo que $x$ tome valores lo suficientemente cercanos a $c$, con la resticción de que $x$ sea distinto de $c$

DEFINICIÓN FORMAL DE LIMITE

Sea $f$ una función definida en un intervalo $I\subset R$, tal que $c\in I$.

Se dice que el límite de $f(x)$ es $L$ cuando x tiende a $c$, si para todo número positivo $\epsilon$ existe un número positivo $\delta$ tal que $f(x)$ está definido y se cumple el siguiente enunciado

$$\left|{f(x)-L}\right|\prec\epsilon$$, siempre que $0 \prec\left|{x-c}\right |\prec\delta$.

De manera abreviada, se puede escribir

$$\displaystyle\lim_{x \to c }{f(x)}=L$$

o también:

$$f(x)\rightarrow{L}$$ cuando $$ x\rightarrow{c}$$.  

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APROXIMACION GRAFICA DEL CONCEPTO DE LIMITE

En las siguientes gráficas, se puede observar que para calcular $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}$, es decir, el limite de una función $f(x)$, cuando $x$ tiende al valor c, no es necesario que la función esté o no definida en c, lo que interesa es que $f$ esté definida en las cercanías de $c$.

• Caso 1.La función $f$ está definida para "todos" los valores alrededor de un número "$c$", incluso en el punto $c$ mismo.

Aunque no es necesario que la función esté definida incluso en c mismo, se observa que cuando $x\rightarrow{c}$, entonces, $f(x)\rightarrow{L}$, es decir, cuando "x tiende a c", entonces "f(x) se aproxima al número L". 

En este caso, se dice que el límite exite y se escribe como: $\displaystyle\lim_{x \to c }{f(x)}=L$ 

• Caso 2.En este ejemplo, la función f no está definida para x=c.

Aunque $f(c)\neq L$, se tiene que $f(x)\rightarrow{L}$, para los valores de x cercanos a c.

Al igual que el caso anterior, el límite existe y se puede escribir: $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}=L$

• Caso 3.En este caso, cuando "x tiende a c" por la derecha, la función "tiende a S", mientras que;cuando "x tiende a c" por la izquierda, la función "tiende a R".
• Esto es, cuando $x\rightarrow{c^+}$, entonces $f(x)\rightarrow{S}$, pero cuando $x\rightarrow{c^-}$, entonces $f(x)\rightarrow{R}$.

En este caso, la función no tiende a un mismo valor cuando x se acerca a c, en consecuencia $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}$, no existe.

• Caso 4.En este ejemplo, cuando "x tiende a c" por la derecha la función toma valores positivos cada vez mayores, mientras que cuando "x tiende a c" por la izquierda, la función toma valores positivos cada vez menores.
• Esto es, cuando $x\rightarrow{c^+}$, entonces $f(x)\rightarrow{+\infty}$, pero cuando $x\rightarrow{c^-}$, entonces $f(x)\rightarrow{-\infty}$.

De lo anterior se deduce que la función no tiende a ningun número real fijo, cuando se acerca a c, en consecuencia $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}$, no existe.

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