FACTORIZACIÓN (Parte III)

Se recomienda ver también:

• Factorización (Parte I) 
• Factorización (Parte II)

FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

Caso 1: Utilización de producto notable 1

En este caso, el polinomio se puede expresar como el producto de los binomios $x+a$ y $x+b$, siempre que cumplan las siguientes condiciones para los números "$a$" y "$b$", descritas en el siguiente ejemplo:  

Sea el trinomio  $x^2+3x-28$. Veamos que es del tipo producto notable 1

Para ello,  deben cumplir las condiciones: 

• $a.b=-28$, su producto sea $-28$ y 
• $a+b=3$, la suma sea $3$. 

Observe que los números que cumplen con las condiciones anteriores son $-4$ y $7$. 

En efecto, $-4.7=-28$ y $-4+7=3$

Luego, 

$x^2+3x-28=(x-4)(x+7)$

Caso 2: Utilización del producto notable 2, denominado trinomio cuadrado perfecto.

En este caso, se debe cumplir que: 

• El trinomio debe contener dos términos que sean cuadrados perfectos,y 
• El otro termino debe ser el producto de la raíces cuadradas de los términos cuadrados perfectos. 

Por ejemplo; el trinomio $16x^2+40x+25$ es del tipo producto notable 2.

Observe que:

• Los términos $16x^2$ y $25$, que son cuadrados perfectos, es decir, los podemos expresar como $(4x)^2$ y $5^2$, respectivamente. 
• La raíces cuadradas de los términos cuadrados perfectos son $4x$ y $5$.
• Además, el término central, $40x$, es producto de $2.(4x)(5)$

Luego, cumple las características para la factorización del trinomio cuadrado perfecto: 

$16x^2+40x+25=(4x+5)^2$

Caso 3: Utilización del producto notable 4.

Para esta factorización se requiere de la técnica del tanteo.

Veamos con un ejemplo: $15x^2+7xy-2y^2$

Para expresar el polinomio anterior como el producto de $(ax+by)(cx+dy)$, se debe:

• Hallar dos números "$a$" y "$c$" cuyo producto sea $15$
• Hallar dos números "$b$" y "$d$" cuyo producto sea $-2$
• La suma "$ad+bc$" sea 7. 
• Utilizar le técnica del tanteo, en este caso, si "$a$" y "$c$" son positivos, las posibilidades son $1$ y $15$ ó $3$ y $5$. 
• Igualmente, las posibilidades para "$b$" y "$d$" son $1$ y $-2$ ó $-1$ y $2$. 

Finalmente, se obtiene el término central $7xy$, y se tiene:

$15x^2+7xy-2y^2=(3x+2y)(5x-y)$

FACTORIZACIÓN POR SUMAS Y DIFERENCIAS DE CUBOS

Para factorizar la suma de dos cubos se utiliza la formula:

$x^3+y^2=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

Mientras que para factorizar la diferencia de dos cubos se usa la fórmula: 

 $x^3-y^2=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

Ejemplo:

El binomio $27-b^3$ es la diferencia de los cubos $3^3$ y $b^3$. Por tanto:

$27-b^3=3^3-b^3$

$=(3-b)(3^2+3b+b^2)$

$=(3-b)(9+3b+b^2)$