GRAFICA DE LA FUNCION LINEAL

FUNCIÓN LINEAL.

La función $f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}$ definida como:$f(x)=ax+b$, donde $a, b\in{\mathbb{R},\:a\neq{0}}$, se denomina función lineal o afín.

• Tanto el dominio como el rango de definición, de $f$, es el conjunto de los números reales.
• Su representación gráfica es una línea recta oblicua cuya inclinación depende del valor de a. $(a>0, a<0)$.
• El valor de $"a"$ se conoce conoce como la pendiente de la recta.
• Cuando $a>0$, el grafico de la recta es creciente
• Cuando $a<0$, el grafico de la recta es decreciente.
• El corte de la grafica con el eje vertical $"y"$, lo representa el punto $(0, b)$. Esto es consecuencia de resolver $f(x)=ax + b$, para $x=0$.
• El corte de la grafica con el eje horizontal $"x"$, lo representa el punto $(\frac{-b}{a}, 0)$. Esto es consecuencia de resolver $f(x)=0$, es decir, $ax + b=0$.
• Por geometría, una recta se determina con solo dos punto, por ello, para graficar la función lineal es suficiente calcular sólo dos puntos que le pertenezcan. Generalmente se calcula los puntos: $(0, b)$ y $(\frac{-b}{a}, 0)$.

Caso b=0

La función definida como $f(x)=ax$,donde $a\:\in{\mathbb{R}}$, es un caso particular de la función lineal, donde $b=0$.

• Tanto el dominio como el rango de definición, de $f$, es el conjunto de los números reales.
• Su representación gráfica es una línea recta que pasa por el origen $(0,0)$, y su inclinación, sabemos que depende del valor de a.
• Cuando $a=1$, (pendiente es 1), estamos en el caso de la función identidad definida como $f(x)=x$

Caso a=0


La función definida como $f(x)=b$,donde $b\:\in{\mathbb{R}}$, se conoce como función constante, es también lineal, pero donde $a=0$.

• El dominio de definición es el conjunto de los números reales.
• El rango de $f$ coincide con el valor real $b$, esto es $Rgo_f=\left\{{b}\right\}$, vale decir, el rango es el conjunto cuyo unico elemento es $b$.
• Su representación gráfica es una línea recta paralela al eje $x$, que interseca el eje $"y"$ en el punto $(0,b)$
• El valor $a=0$ indica que la recta no tiene inclinación.

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COORDENADAS RECTANGULARES

PRODUCTO CARTESIANO.

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos. Llamaremos producto cartesiano de $A$ y $B$, denotado por $A\times{B}$, al conjunto cuyos elementos son de la forma (a,b), tal que $a\in A$, $b\in B$. En símbolos:$A\times{B}=\left\{{\left(a,b\right): a\in A, b\in B}\right\}$

Supongase que $A={1,2,3}$ y $B={1,2}$. El producto cartesiano se representa como
$A\times{B}=\left\{{\left(1,1\right),\:\left(1,2\right),\:\left(2,1\right),\: \left(2,2\right),\: \left(3,1\right),\: \left(3,2\right)}\right\}$.

PARES ORDENADOS.

Los elementos $(a,b)$ del conjunto $A\times{B}$, se denominan pares ordenados, y reciben este nombre dado que si:

$a\in A$; $b\in B$; $a\neq b$

entonces

$\left(a,b)\neq\left(b,a)$

En el ejemplo anterior,

$\left(1,2)\neq\left(2,1)$

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

Así como los números reales se pueden asociar a cada punto de la recta real, (espacio unidimensional) también el conjunto $\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}$, vale decir, los pares ordenados, se pueden representar en un sistema denominado de coordenadas rectangulares (espacio bidimensional).

Un sistema de coordenadas rectangulares consiste en un par de rectas , una vertical (eje y) y otra horizontal (eje x), perpendiculares entre si y graduadas, cuya intersección es el punto O=(0,0), denominado origen. Estas rectas dividen al plano en cuatro sectores, denominados cuadrantes.

Cada cuadrante se enumera como I, II, III y IV.

Este sistema también se conoce como plano cartesiano y permite asociar a cada par ordenado (x,y) de números reales, su correspondiente punto en el plano.

Se dice que cada punto (a,b)  del plano tiene coordenadas a y b, donde (a) es la abscisa y (b) es la ordenada.

Por ejemplo, el punto (-3, 1), tiene coordenadas -3 y 1.

Además -3 es la abscisa y 1 es la ordenada.

Las coordenadas de un punto son positivas o negativas, segun el cuadrante que ocupen.

Por ejemplo, sean x, y las coordenadas de un punto P, entonces si:

• P está en el primer cuadrante, x >0, y>0.
• P está en el segundo cuadrante, x<0, y>0.
• P está en el tercer cuadrante, x<0, y<0.
• P esta en cuarto cuadrante, x>0, y <0. 

A cada punto P del plano se le asocia exactamente un par ordenado de números reales (a,b) y a cada par ordenado de números reales se asocia exactamente un punto del plano. 

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GRAFICA DE FUNCIONES

GRÁFICA DE FUNCIONES.

La representación gráfica de una función f, se fundamenta en el concepto de función como el conjunto de pares ordenados de números reales.

Basados en esta definición, se puede decir que: 

Si $f$ es una función, entonces, la grafica de $f$ es el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ en $\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}$ para los que $(x,y)$ es un par ordenado de $f$.

Esto es:

$grafica f =\left\{{\left(x,y\right)\in{\mathbb{R}^2}/ x\in{Dom_f}\wedge\:y=f(x)}\right\}$

• La gráfica de una función sólo puede ser cortada por un recta vertical en un punto.

Por ejemplo, la función definida como:
$f=\left\{{(-1,3), (2,-1), (0,0), (5,4), (2,3)}\right\}$,
se representa graficamente como:

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