NUMEROS RACIONALES

En los apartados anteriores describimos los sistemas de numeración para $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$.

Ya hemos comentado que ecuaciones como $3.x=5$ no admiten soluciones enteras, dado que $5$ debe ser múltiplo de $3$ ó de otra forma $3$ debe dividir a $5$, lo cual no es el caso.

De allí que nace la necesidad de construir un conjunto, que contenga a los números enteros, se mantengan las propiedades anteriores y la ecuación: $a.x=b$, $a\neq 0$ y $a, b \in{Z}$, tenga siempre solución.

Este nuevo conjunto numérico, que contiene a $\mathbb{Z}$, y permite superar la limitación de resolver tal ecuación, se denomina el conjunto de los números racionales (fraccionarios o quebrados), lo denotamos por $\mathbb{Q}$, y se presenta así:$\mathbb{Q}=\left\{{\frac{a}{b}},\:a,b\in{Z},\:b\neq 0\right\}$

• Un número racional se representa como el cociente de números enteros $a$ y $b$, donde $a$ es el numerador y $b$ es el denominador.
• Los siguientes son algunos números racionales:   

• El conjunto de los números racionales no posee un primer elemento para la relación de orden $\leq$. Esto es, no existe un racional menor o igual que cualquier otro racional.
• El conjunto de los números racionales no posee un último elemento para la relación de orden $\leq$. Esto es, no existe un racional mayor o igual que cualquier otro racional.
• El conjunto, $\mathbb{Q}^*=\mathbb{Q}-\left\{{0}\right\}$ es decir, los racionales sin el cero.
• El conjunto $\mathbb{Q}^+=\left\{{\frac{a}{b}:(a,b\in{\mathbb{Z}^+})\vee(a,b\in{\mathbb{Z}^-})}\right\}$
• El conjunto $\mathbb{Q}^-=\left\{{\frac{a}{b}:(a\in{\mathbb{Z}^+},b\in{\mathbb{Z}^-})\vee(a\in{\mathbb{Z}^-},b\in{\mathbb{Z}^+})}\right\}$
• El conjunto $ \mathbb{Q}=\mathbb{Q}^+\cup\left\{{0}\right\}\cup \mathbb{Q}^-$
• Todo numero natural y en consecuencia todo entero $n$, se puede escribir como el racional $\frac{n}{1}$.
• Luego, $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$.

Vea también las propiedades de los números racionales y el conjunto de los números naturales, enteros, irracionales y reales