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martes, 25 de enero de 2011

NUMEROS RACIONALES

En los apartados anteriores describimos los sistemas de numeración para \mathbb{N} y \mathbb{Z}.
Ya hemos comentado que ecuaciones como 3.x=5 no admiten soluciones enteras, dado que 5 debe ser múltiplo de 3 ó de otra forma 3 debe dividir a 5, lo cual no es el caso.
De allí que nace la necesidad de construir un conjunto, que contenga a los números enteros, se mantengan las propiedades anteriores y la ecuación: a.x=b, a\neq 0 y a, b \in{Z}tenga siempre solución.
Este nuevo conjunto numérico, que contiene a \mathbb{Z}, y permite superar la limitación de resolver tal ecuación, se denomina el conjunto de los números racionales (fraccionarios o quebrados), lo denotamos por \mathbb{Q}, y se presenta así:\mathbb{Q}=\left\{{\frac{a}{b}},\:a,b\in{Z},\:b\neq 0\right\}
  • Un número racional se representa como el cociente de números enteros a y b, donde a es el numerador b es el denominador.
  • Los siguientes son algunos números racionales:   
  • El conjunto de los números racionales no posee un primer elemento para la relación de orden \leq. Esto es, no existe un racional menor o igual que cualquier otro racional.
  • El conjunto de los números racionales no posee un último elemento para la relación de orden \leq. Esto es, no existe un racional mayor o igual que cualquier otro racional.
  • El conjunto, \mathbb{Q}^*=\mathbb{Q}-\left\{{0}\right\} es decir, los racionales sin el cero.
  • El conjunto \mathbb{Q}^+=\left\{{\frac{a}{b}:(a,b\in{\mathbb{Z}^+})\vee(a,b\in{\mathbb{Z}^-})}\right\}
  • El conjunto \mathbb{Q}^-=\left\{{\frac{a}{b}:(a\in{\mathbb{Z}^+},b\in{\mathbb{Z}^-})\vee(a\in{\mathbb{Z}^-},b\in{\mathbb{Z}^+})}\right\}
  • El conjunto \mathbb{Q}=\mathbb{Q}^+\cup\left\{{0}\right\}\cup \mathbb{Q}^-
  • Todo numero natural y en consecuencia todo entero n, se puede escribir como el racional \frac{n}{1}.
  • Luego, \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}.

Vea también las propiedades de los números racionales y el conjunto de los números naturales, enterosirracionales y reales 

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