OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS RACIONALES

• En el conjunto $\mathbb{Q}$, están bien definidas las operaciones, adición, multiplicación, sustracción y división, para cualquiera par de números racionales.
• Las propiedades básicas;del conjunto $\mathbb{Z}$ junto a las operaciones de suma (+) y producto (.) de los números enteros se extienden a los racionales.
• La raiz de un número racional , es otro racional, sólo si la raiz es exacta o cuando el indice es par y la cantidad subradical es positiva.   
• Se añade la propiedad del multiplicativo inverso, que sostiene que para todo racional distinto de cero, existe otro racional que multiplicado con aquel da como resultado la unidad, 1:

$$\displaystyle\frac{a}{b}.(\frac{a}{b})^{-1}=\frac{a}{b}.\frac{b}{a}=1$$

• La suma y el producto se realizan según la siguiente regla de operación, donde $\frac{m}{n}$ y $\frac{p}{q}$son números racionales:

$$\frac{m}{n}+\frac{p}{q}=\frac{m.q+n.p}{n.q}$$

$$\frac{m}{n}.\frac{p}{q}=\frac{m.p}{n.q}$$

• Siempre que se asuma que el número $\frac{m}{n}$ es racional, se entenderá que n es distinto de cero.
• Los racionales $\frac{m}{n}$ y $\frac{p}{q}$ son iguales sí y solo si se cumple que:

$$m.q=n.p$$ 

• Los números racionales se pueden expresar como: i) números enteros, ii) números con expresiones decimales limitadas o iii) periódicas ilimitadas. Por ejemplo:

1. Cociente entero :$6=\frac{12}{2}$
2. Cociente con cantidades decimales limitadas,$ 0.3=\frac{3}{10}$; $2.25=\frac{9}{4}$; $5.1875=\frac{83}{16}$
3. Cociente con cantidades decimales periódicas ilimitadas
   $0.333...=\frac{1}{3}$;$1.571428571428...=\frac{11}{7}$.
4. En los casos anteriores existen cifras que se repiten de manera periodica e ilimitada, tal es el caso del 3 y el 571428 respectivamente.

• Un número racional siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa. Pero, no todo punto de la recta representa a un número racional.
• Entre dos números enteros consecutivos, existen infinitos números racionales. Por ello, se dice que el Conjunto $\mathbb{Q}$, es denso.
• Insuficiencia del sistema de los números racionales:

1. Al igual que en los otros conjuntos numéricos, el conjunto $\mathbb{Q}$ se hace insuficiente, particularmente ante soluciones de ecuaciones tipo:$x^2-2=0$.
2. Los números decimales con expresiones decimales no periódicas e ilimitadas, no pueden expresarse como cociente de dos enteros, por ejemplo:

• el número $e\approx 2.7182818284590452354...$, 
• el número$\pi \approx 3.14159265358979323846...$, 
• $\sqrt[]{2} \approx 1,41421356237309504880168872420...$ y otros, por lo tanto no son racionales.

Vea también el conjunto de los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. 

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