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martes, 25 de enero de 2011

OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS RACIONALES

  • En el conjunto $\mathbb{Q}$, están bien definidas las operaciones, adición, multiplicación, sustracción y división, para cualquiera par de números racionales.
  • Las propiedades básicas;del conjunto $\mathbb{Z}$ junto a las operaciones de suma (+) y producto (.) de los números enteros se extienden a los racionales.
  • La raiz de un número racional , es otro racional, sólo si la raiz es exacta o cuando el indice es par y la cantidad subradical es positiva.   
  • Se añade la propiedad del multiplicativo inverso, que sostiene que para todo racional distinto de cero, existe otro racional que multiplicado con aquel da como resultado la unidad, 1:
$$\displaystyle\frac{a}{b}.(\frac{a}{b})^{-1}=\frac{a}{b}.\frac{b}{a}=1$$
  • La suma y el producto se realizan según la siguiente regla de operación, donde $\frac{m}{n}$ y $\frac{p}{q}$son números racionales:
$$\frac{m}{n}+\frac{p}{q}=\frac{m.q+n.p}{n.q}$$
$$\frac{m}{n}.\frac{p}{q}=\frac{m.p}{n.q}$$
  • Siempre que se asuma que el número $\frac{m}{n}$ es racional, se entenderá que n es distinto de cero.
  • Los racionales $\frac{m}{n}$ y $\frac{p}{q}$ son iguales sí y solo si se cumple que:
$$m.q=n.p$$ 
  • Los números racionales se pueden expresar como: i) números enteros, ii) números con expresiones decimales limitadas o iii) periódicas ilimitadas. Por ejemplo:
  1. Cociente entero :$6=\frac{12}{2}$
  2. Cociente con cantidades decimales limitadas,$ 0.3=\frac{3}{10}$; $2.25=\frac{9}{4}$; $5.1875=\frac{83}{16}$
  3. Cociente con cantidades decimales periódicas ilimitadas
    $0.333...=\frac{1}{3}$;$1.5714285714287...=\frac{11}{7}$
    .
  4. En los casos anteriores existen cifras que se repiten de manera periodica e ilimitada, tal es el caso del 3 y el 571428 respectivamente.
  • Un número racional siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa. Pero, no todo punto de la recta representa a un número racional.
  • Entre dos números enteros consecutivos, existen infinitos números racionales. Por ello, se dice que el Conjunto $\mathbb{Q}$, es denso.
  • Insuficiencia del sistema de los números racionales:
  1. Al igual que en los otros conjuntos numéricos, el conjunto $\mathbb{Q}$ se hace insuficiente, particularmente ante soluciones de ecuaciones tipo:$x^2-2=0$.
  2. Los números decimales con expresiones decimales no periódicas e ilimitadas, no pueden expresarse como cociente de dos enteros, por ejemplo:
  • el número $e\approx 2.7182818284590452354...$, 
  • el número$\pi \approx 3.14159265358979323846...$, 
  • $\sqrt[]{2} \approx 1,41421356237309504880168872420...$ y otros, por lo tanto no son racionales.
    Vea también el conjunto de los números naturalesenterosracionales, irracionales y reales. 

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