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martes, 25 de enero de 2011

OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS REALES

Axiomas de Campo
Para todo $\ a,\,b,\,c,\,d,\,\in \mathbb{R}$ se cumple:
Axioma 1.  Ley de cerramiento.   
  • $a+b$, es un número real único.
  • $a.b$, es un número real único.
Axioma 2.  Leyes conmutativas.
  • $a+b=b+a$, conmutativa para la operación ( + )
  • $a.b=b.a$, conmutativa para la operación ( . )
Axioma 3.  Leyes asociativas.  
  • $a+(b+c)=(a+b)+c$, asociativa para la operación ( + )
  • $a.(b.c)=(a.b).c$, asociativa para la operación ( . )
Axioma 4.  Ley distributiva.  
  • $a.(b+c)=(a.b)+(a.c)$
Axioma 5.  Existencia de elementos neutros (de identidad o modulativa)   
  • Existe el número real $0$ (cero), tal que para todo $a\in \mathbb{R}$ se cumple: $a+0=0+a=a$ 
  • Existe el número real $1$(uno), tal que para todo $a\in \mathbb{R}$ se cumple: $a.1=1.a=a$ 
El número real 0 es se conoce como elemento neutro para la adición. 
El número real 1 es se conoce como elemento neutro para la multiplicación.
 
Axioma 6.;Existencia del inverso aditivo.
  • Para cada número real $a\in \mathbb{R}$, existe un real único, llamado inverso aditivo o simétrico de $a$, que se denota $- a$, tal que:$a+(-a)=0$
Axioma 7.Existencia del inverso multiplicativo.
  • Para cada número real $a\in \mathbb{R}$, existe un real único, llamado inverso multiplicativo o recíproco de $a$, que se denota $a^{-1}$ o $\frac{1}{a}$, tal que:$a.a^{-1} =a.\frac{1}{a} =1$.
Observe que - a no significa un número negativo, aunque en algunas ocasiones puede serlo. Note que -3 es negativo y es el opuesto de 3, mientras que -(-5) es positivo y es el opuesto de –5. 
Axiomas de Orden.
Los axiomas o propiedades del sistema de los números reales que se enuncian a continuación se expresan en términos de un cierto subconjunto especial de $\mathbb{R}$este subconjunto denotado por $\mathbb{R}^+$se identifica con el conjunto de los reales positivos.
En general, cualquier campo que tenga un subconjunto P con las propiedades mencionadas a continuación, es llamado un campo ordenado.
En el caso particular que se estudiará, estas propiedades permiten establecer que el sistema de los números reales es un campo ordenado.
Axioma de orden 1.
Existe $\mathbb{R}^+\subset \mathbb{R}$ tal que, si $a,\,b\, \varepsilon \mathbb{R}^+$, entonces:
  • $a+b\in{\mathbb{R}^+}$ y $a.b\in{\mathbb{R}^+}$
Para cada $a\in{\mathbb{R}^+}$, una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera:
  • $a\in{\mathbb{R}^+}$
  • $a=0$
  • $-a\in{\mathbb{R}^+}$

Los elementos $a\in \mathbb{R}$ para los cuales $a\in{\mathbb{R}^+}$, se denominan:reales positivos.

Los elementos $a\in \mathbb{R}$ para los cuales $-a\in{\mathbb{R}^+}$se denominan:reales negativos.


Vea también el conjunto de los números naturalesenterosracionalesirracionales y reales. 

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