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martes, 25 de enero de 2011

OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS NATURALES

El sistema de los números naturales se caracteriza por el conjunto de los números naturales y dos operaciones llamadas adición (+)  y multiplicación (.). El conjunto N junto a la operaciones (+) y (.) cumple con la propiedad de clausura, es decir, ambas operaciones están bien definidas en N, para cualquier número natural.
  • La expresión $a+b$, representa la operación adición (+) de los números naturales $a$ y $b$.
  • La expresión $a.b$, representa la operación multiplicación (.) de los números naturales $a$ y $b$.
  • La potenciación en N, es la operación definida como: $\underbrace{ a.a.a.\cdots.a }_{n\:veces}=a^n$,donde $a, n\in N$
  1. El natural $a$, es es la base de la potencia.
  2. El natural $n$, es exponente de la potencia.
  3. El natural $a^n$ es la potencia enésima de $a$.
Insuficiencia del sistema de los números naturales:
  1. La expresión $\frac{a}{b}$, representa la operación división(/) de los números naturales $a$ y $b\neq 0$, llamados dividendo y divisor respectivamente. La división en N, está definida sólo cuando el dividendo es múltiplo del divisor.
  2. La expresión $b-a$, representa la operación sustracción (-) de los números naturales $a$ y $b$, llamados minuendo y sustraendo respectivamente. La sustracción en N , está definida sólo cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo. Es decir, cuando $b\geq a$
  3. La raiz enésima de un número natural b, es otro natural a, sólo cuando es exacta.
Propiedades básicas de los números naturales junto a las operaciones suma (+), producto (.).
Cualquiera que sean los números naturales a, b y c, se cumple:
    • Propiedad conmutativa respecto a la adición (+)
    $a+b=b+a$
      • Propiedad asociativa respecto a la adición (+)
      $a+(b+c)=(a+b)+c$
        • Existencia del elemento neutro respecto a la adición (+)
        $a+0=a+0=a$
          • Propiedad conmutativa respecto a la multiplicación  (.)
          $a.b=b.a$
            • Propiedad asociativa respecto a la multiplicación  (.) 
            $a.(b.c)=(a.b).c$
              • Existencia del elemento neutro respecto a la multiplicación (.)
              $a.1=1.a=a$
                • Propiedad distributiva de la multiplicación (.) respecto a la adición (+).
                $a.(b+c)=a.b+a.c$
                  • Propiedad de orden (tricotomía): Si n, m son números naturales, entonces se tiene exactamente una de estas tres posibilidades:
                  $n\prec m$; $n=m$; $m\prec n$

                  Vea también el conjunto de los números naturales, enteros , racionales, irracionales y reales. 

                  Una operación matemática es la acción de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce como ley de composición.
                  La clausura indica que el resultado de la operación entre dos elementos de un conjunto, también pertenece al conjunto. Se dice que  N junto a las operaciones  (+), (.), es cerrado. Por ejemplo, al sumar (o multiplicar) dos números naturales, se obtiene como suma (o producto) otro número  natural.

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