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martes, 25 de enero de 2011

OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS ENTEROS

  • En el conjunto $\mathbb{Z}$, están bien definidas las operaciones, adición, multiplicación y sustracción.
  • Las propiedades básicas del conjunto $\mathbb{N}$ junto a las operaciones (+), (.) y las de orden, también se cumplen para los elementos de $\mathbb{Z}$, y se añade "la propiedad del elemento simétrico" .
  • Existencia del elemento simétrico para (+): sostiene que para todo número entero, existe otro entero, que sumado con aquel da como resultado el número cero: $a+(-a)=(-a)+a=0$.
    • La relación de orden $\leq$ en $\mathbb{Z}$, se define así:$a\leq b$, si $b-a\geq 0$.
    • El Teorema fundamental de la aritmética, se enuncia de esta manera: dados los números enteros $n$ y $d$, diremos que $d$ es un divisor de $n$, denotado por $d/n$, si existe un numero entero $c$, tal que $n=c.d$
    • Decir que $d$ es un divisor de $n$, es equivalente a decir que $n$ es múltiplo de $d$.
    • Decimos que un número entero $n$, mayor que $1$, es primo si $n$ admite como únicos divisores posibles, tanto al mismo $n$ como a $1$. En caso contrario, decimo que $n$ es compuesto.
    • Diremos que el numero $d$, mayor que $1$, es el Máximo Común Divisor de los números $a$ y $b$, denotado como $MCD (a, b)$, si el número $d$ divide tanto a $"a"$ como a $"b"$, pero además, cada divisor de $"a"$ y $"b"$ divide también a $d$.
    • La raiz de un número entero, es otro entero, sólo si la raiz es exacta o cuando el indice es par y la cantidad subradical es positiva.  
    • La potenciación en $\mathbb{Z}$, es la operación definida como: $\underbrace{ a.a.a.\cdots.a }_{n\:veces}=a^n$,donde $a\in{Z}$ y $n\in{Z^+}$
    • Insuficiencia del sistema de los números enteros:
    1. La operación división (/) de los números enteros "a y b", expresada como a/b, está definida en $\mathbb{Z}$, solo cuando el dividendo "a" es múltiplo del divisor "b",distinto de cero. 
    2. La potenciación es $\mathbb{Z}$, no está definida cuando el exponente es negativo.
    • Un número entero siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa. Pero, no todo punto de la recta representa a un número entero.
    • Entre dos números enteros consecutivos, no existe ningún número entero.

    Vea también el conjunto de los números naturalesenterosracionales, irracionales y reales. 

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