OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS REALES

Axiomas de Campo

Para todo $\ a,\,b,\,c,\,d,\,\in \mathbb{R}$ se cumple:

Axioma 1.  Ley de cerramiento.   

• $a+b$, es un número real único.
• $a.b$, es un número real único.

Axioma 2.  Leyes conmutativas.

• $a+b=b+a$, conmutativa para la operación ( + )
• $a.b=b.a$, conmutativa para la operación ( . )

Axioma 3.  Leyes asociativas.  

• $a+(b+c)=(a+b)+c$, asociativa para la operación ( + )
• $a.(b.c)=(a.b).c$, asociativa para la operación ( . )

Axioma 4.  Ley distributiva.  

• $a.(b+c)=(a.b)+(a.c)$

Axioma 5.  Existencia de elementos neutros (de identidad o modulativa)   

• Existe el número real $0$ (cero), tal que para todo $a\in \mathbb{R}$ se cumple: $a+0=0+a=a$ 

• Existe el número real $1$(uno), tal que para todo $a\in \mathbb{R}$ se cumple: $a.1=1.a=a$ 

El número real 0 es se conoce como elemento neutro para la adición. 
El número real 1 es se conoce como elemento neutro para la multiplicación.

 
Axioma 6.;Existencia del inverso aditivo.

• Para cada número real $a\in \mathbb{R}$, existe un real único, llamado inverso aditivo o simétrico de $a$, que se denota $- a$, tal que:$a+(-a)=0$

Axioma 7.Existencia del inverso multiplicativo.

• Para cada número real $a\in \mathbb{R}$, existe un real único, llamado inverso multiplicativo o recíproco de $a$, que se denota $a^{-1}$ o $\frac{1}{a}$, tal que:$a.a^{-1} =a.\frac{1}{a} =1$.

Observe que - a no significa un número negativo, aunque en algunas ocasiones puede serlo. Note que -3 es negativo y es el opuesto de 3, mientras que -(-5) es positivo y es el opuesto de –5. 
Axiomas de Orden.

Los axiomas o propiedades del sistema de los números reales que se enuncian a continuación se expresan en términos de un cierto subconjunto especial de $\mathbb{R}$este subconjunto denotado por $\mathbb{R}^+$se identifica con el conjunto de los reales positivos.

En general, cualquier campo que tenga un subconjunto P con las propiedades mencionadas a continuación, es llamado un campo ordenado.

En el caso particular que se estudiará, estas propiedades permiten establecer que el sistema de los números reales es un campo ordenado.

Axioma de orden 1.

Existe $\mathbb{R}^+\subset \mathbb{R}$ tal que, si $a,\,b\, \varepsilon \mathbb{R}^+$, entonces:

• $a+b\in{\mathbb{R}^+}$ y $a.b\in{\mathbb{R}^+}$

Para cada $a\in{\mathbb{R}^+}$, una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera:

• $a\in{\mathbb{R}^+}$
• $a=0$
• $-a\in{\mathbb{R}^+}$

Los elementos $a\in \mathbb{R}$ para los cuales $a\in{\mathbb{R}^+}$, se denominan:reales positivos.

Los elementos $a\in \mathbb{R}$ para los cuales $-a\in{\mathbb{R}^+}$, se denominan:reales negativos.

Vea también el conjunto de los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. 

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PROPIEDADES DE NUMEROS IRRACIONALES

• Un número irracional es aquel que representa una expresión decimal no periódica e ilimitada.
• Un número irracional siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa. Pero, no todo punto de la recta representa a un número irracional.
• Como todo numero irracional esta definido por una expresión decimal infinita no periódica, un numero no puede ser al mismo tiempo racional e irracional, por tanto : $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{I}$; son conjuntos disjuntos, es decir, que su intersección es el conjunto vacío: $\mathbb{Q}\cap \mathbb{I}= \emptyset$

Vea también el conjunto de los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. 

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OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS RACIONALES

• En el conjunto $\mathbb{Q}$, están bien definidas las operaciones, adición, multiplicación, sustracción y división, para cualquiera par de números racionales.
• Las propiedades básicas;del conjunto $\mathbb{Z}$ junto a las operaciones de suma (+) y producto (.) de los números enteros se extienden a los racionales.
• La raiz de un número racional , es otro racional, sólo si la raiz es exacta o cuando el indice es par y la cantidad subradical es positiva.   
• Se añade la propiedad del multiplicativo inverso, que sostiene que para todo racional distinto de cero, existe otro racional que multiplicado con aquel da como resultado la unidad, 1:

$$\displaystyle\frac{a}{b}.(\frac{a}{b})^{-1}=\frac{a}{b}.\frac{b}{a}=1$$

• La suma y el producto se realizan según la siguiente regla de operación, donde $\frac{m}{n}$ y $\frac{p}{q}$son números racionales:

$$\frac{m}{n}+\frac{p}{q}=\frac{m.q+n.p}{n.q}$$

$$\frac{m}{n}.\frac{p}{q}=\frac{m.p}{n.q}$$

• Siempre que se asuma que el número $\frac{m}{n}$ es racional, se entenderá que n es distinto de cero.
• Los racionales $\frac{m}{n}$ y $\frac{p}{q}$ son iguales sí y solo si se cumple que:

$$m.q=n.p$$ 

• Los números racionales se pueden expresar como: i) números enteros, ii) números con expresiones decimales limitadas o iii) periódicas ilimitadas. Por ejemplo:

1. Cociente entero :$6=\frac{12}{2}$
2. Cociente con cantidades decimales limitadas,$ 0.3=\frac{3}{10}$; $2.25=\frac{9}{4}$; $5.1875=\frac{83}{16}$
3. Cociente con cantidades decimales periódicas ilimitadas
   $0.333...=\frac{1}{3}$;$1.571428571428...=\frac{11}{7}$.
4. En los casos anteriores existen cifras que se repiten de manera periodica e ilimitada, tal es el caso del 3 y el 571428 respectivamente.

• Un número racional siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa. Pero, no todo punto de la recta representa a un número racional.
• Entre dos números enteros consecutivos, existen infinitos números racionales. Por ello, se dice que el Conjunto $\mathbb{Q}$, es denso.
• Insuficiencia del sistema de los números racionales:

1. Al igual que en los otros conjuntos numéricos, el conjunto $\mathbb{Q}$ se hace insuficiente, particularmente ante soluciones de ecuaciones tipo:$x^2-2=0$.
2. Los números decimales con expresiones decimales no periódicas e ilimitadas, no pueden expresarse como cociente de dos enteros, por ejemplo:

• el número $e\approx 2.7182818284590452354...$, 
• el número$\pi \approx 3.14159265358979323846...$, 
• $\sqrt[]{2} \approx 1,41421356237309504880168872420...$ y otros, por lo tanto no son racionales.

Vea también el conjunto de los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. 

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