OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS ENTEROS

• En el conjunto $\mathbb{Z}$, están bien definidas las operaciones, adición, multiplicación y sustracción.
• Las propiedades básicas del conjunto $\mathbb{N}$ junto a las operaciones (+), (.) y las de orden, también se cumplen para los elementos de $\mathbb{Z}$, y se añade "la propiedad del elemento simétrico" .
• Existencia del elemento simétrico para (+): sostiene que para todo número entero, existe otro entero, que sumado con aquel da como resultado el número cero: $a+(-a)=(-a)+a=0$.

• La relación de orden $\leq$ en $\mathbb{Z}$, se define así:$a\leq b$, si $b-a\geq 0$.
• El Teorema fundamental de la aritmética, se enuncia de esta manera: dados los números enteros $n$ y $d$, diremos que $d$ es un divisor de $n$, denotado por $d/n$, si existe un numero entero $c$, tal que $n=c.d$
• Decir que $d$ es un divisor de $n$, es equivalente a decir que $n$ es múltiplo de $d$.
• Decimos que un número entero $n$, mayor que $1$, es primo si $n$ admite como únicos divisores posibles, tanto al mismo $n$ como a $1$. En caso contrario, decimo que $n$ es compuesto.
• Diremos que el numero $d$, mayor que $1$, es el Máximo Común Divisor de los números $a$ y $b$, denotado como $MCD (a, b)$, si el número $d$ divide tanto a $"a"$ como a $"b"$, pero además, cada divisor de $"a"$ y $"b"$ divide también a $d$.
• La raiz de un número entero, es otro entero, sólo si la raiz es exacta o cuando el indice es par y la cantidad subradical es positiva.  
• La potenciación en $\mathbb{Z}$, es la operación definida como: $\underbrace{ a.a.a.\cdots.a }_{n\:veces}=a^n$,donde $a\in{Z}$ y $n\in{Z^+}$

• Insuficiencia del sistema de los números enteros:

1. La operación división (/) de los números enteros "a y b", expresada como a/b, está definida en $\mathbb{Z}$, solo cuando el dividendo "a" es múltiplo del divisor "b",distinto de cero. 
2. La potenciación es $\mathbb{Z}$, no está definida cuando el exponente es negativo.

• Un número entero siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa. Pero, no todo punto de la recta representa a un número entero.
• Entre dos números enteros consecutivos, no existe ningún número entero.

Vea también el conjunto de los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. 

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OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS NATURALES

El sistema de los números naturales se caracteriza por el conjunto de los números naturales y dos operaciones llamadas adición (+)  y multiplicación (^.). El conjunto N junto a la operaciones (+) y (.) cumple con la propiedad de clausura, es decir, ambas operaciones están bien definidas en N, para cualquier número natural.

• La expresión $a+b$, representa la operación adición (+) de los números naturales $a$ y $b$.
• La expresión $a.b$, representa la operación multiplicación (.) de los números naturales $a$ y $b$.
• La potenciación en N, es la operación definida como: $\underbrace{ a.a.a.\cdots.a }_{n\:veces}=a^n$,donde $a, n\in N$

1. El natural $a$, es es la base de la potencia.
2. El natural $n$, es exponente de la potencia.
3. El natural $a^n$ es la potencia enésima de $a$.

Insuficiencia del sistema de los números naturales:

1. La expresión $\frac{a}{b}$, representa la operación división(/) de los números naturales $a$ y $b\neq 0$, llamados dividendo y divisor respectivamente. La división en N, está definida sólo cuando el dividendo es múltiplo del divisor.
2. La expresión $b-a$, representa la operación sustracción (-) de los números naturales $a$ y $b$, llamados minuendo y sustraendo respectivamente. La sustracción en N , está definida sólo cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo. Es decir, cuando $b\geq a$
3. La raiz enésima de un número natural b, es otro natural a, sólo cuando es exacta.

Propiedades básicas de los números naturales junto a las operaciones suma (+), producto (.).

Cualquiera que sean los números naturales a, b y c, se cumple:

• Propiedad conmutativa respecto a la adición (+)

$a+b=b+a$

• Propiedad asociativa respecto a la adición (+)

$a+(b+c)=(a+b)+c$

• Existencia del elemento neutro respecto a la adición (+)

$a+0=a+0=a$

• Propiedad conmutativa respecto a la multiplicación  (.)

$a.b=b.a$

• Propiedad asociativa respecto a la multiplicación  (.) 

$a.(b.c)=(a.b).c$

• Existencia del elemento neutro respecto a la multiplicación (.)

$a.1=1.a=a$

• Propiedad distributiva de la multiplicación (.) respecto a la adición (+).

$a.(b+c)=a.b+a.c$

• Propiedad de orden (tricotomía): Si n, m son números naturales, entonces se tiene exactamente una de estas tres posibilidades:

$n\prec m$; $n=m$; $m\prec n$

Vea también el conjunto de los números naturales, enteros , racionales, irracionales y reales. 

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Una operación matemática es la acción de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce como ley de composición.

La clausura indica que el resultado de la operación entre dos elementos de un conjunto, también pertenece al conjunto. Se dice que  N junto a las operaciones  (+), (.), es cerrado. Por ejemplo, al sumar (o multiplicar) dos números naturales, se obtiene como suma (o producto) otro número  natural.

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NUMEROS REALES

Se define el Conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales como:$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \mathbb{I}$

Al igual que en los anteriores sistemas numéricos, el sistema de los números reales nace para superar la limitación de solucionar ecuaciones como $x^2-2=0$. Es por ello, que se impone la necesidad de construir un conjunto, que contenga a los racionales, mantenga las propiedades y ofrezca solución a la ecuación anterior.  

• En el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales, se definen dos operaciones a saber: la adición (+) y la multiplicación (.), las cuales verifican todas las propiedades estudiadas en los anteriores sistemas numéricos. Las propiedades de los números reales se denominan axiomas de campo.
• Un número real siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa y viceversa. Esta propiedad permite la posibilidad de tratar a los números reales como puntos de una recta.
• El conjunto $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}-\left\{{0}\right\}$,es decir, los reales sin el cero.
• El conjunto $\mathbb{R}^+$, se denomina los reales positivos (No negativos).
• El conjunto $\mathbb{R}^-$, se denomina los reales negativos (No positivos).
• El conjunto $ \mathbb{R}=\mathbb{R}^+\cup\left\{{0}\right\}\cup \mathbb{R}^-$.

Vea también las propiedades de los números reales y el conjunto de los números naturales,  enteros,  racionales e irracionales. 

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