DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.

Sea f una función definida de $A$ en $B$. Vale decir,

$f:A\rightarrow{B}$

Se dice que $f$ es una función real de variable real si $A$ y $B$ son subconjuntos de los números reales; es decir,

$A\subseteq {\mathbb{R}$ y $B\subseteq {\mathbb{R}$

Cuando una función se define de manera algebraica, en la mayoría de los casos, interesa determinar los valores de la variable para los cuales el enunciado algebraico representa un número real, es decir, interesa conocer su dominio. 

Antes de avanzar, recordemos los siguientes criterios, necesarios para determinar el dominio y rango de las funciones reales de variable real: 

• Si $$\frac{a}{b}$$ es real, entonces $b\neq 0$, esto es, el denominador debe ser distinto de cero.
• Si $$\sqrt[n]{a}$$ es real, con $n$ par, entonces $a \geq 0$, esto es, la cantidad subradical debe ser mayo o igual que cero.

2.2.2 DETERMINAR EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.

Para determinar el dominio de una función $f$, de acuerdo a su regla $y=f(x)$, se analizan todos lo valores posibles de la variable $x$, tal que $f(x)$ es un número real. Esto es, se despeja la variable $y$, para estudiar el comportamiento de la variable $x$. Al hacer este despeje, se consideran los siguientes casos:

• La variable $x$ forma parte del denominador de una fracción.
• La variable $x$ forma parte de un radical par.
• La variable $x$ no forma parte de ni de un dominador ni de un radical.

2.2.2.1 LA VARIABLE X FORMA PARTE DEL DENOMINADOR.

Veamos un ejemplo.

Sea $f$ una función definida por la expresión:
$$f(x)=\frac{5}{2x-3}$$.

Determinar su dominio.

En este caso, evaluando para el denominador distinto de cero, tenemos:
$\begin{matrix}2x-3\neq 0\Rightarrow{2x\neq 0}\\\Rightarrow{x\neq\frac{3}{2}}\end{matrix}$

Esto es, todos los reales excepto $\frac{3}{2}$ tienen imagen mediante $f$ en el conjunto de llegada, por lo tanto, el conjunto dominio de $f$ se escribe asi:$\mbox{Dom f}=R-\left\{{\frac{3}{2}}\right\}$

2.2.2.2 LA VARIABLE X FORMA PARTE DE UN RADICAL PAR.

Por ejemplo:

Sea $f$ la función definida por la expresión:
$f(x)=\sqrt[]{3-3x}$.

Determinar su dominio.

En este caso, $f$ es una función real si la cantidad subradical es no negativa, vale decir, mayor o igual que cero. Esto es:

$\begin{matrix}3-3x\geq 0 \Rightarrow -3x\geq -3\\\Rightarrow x\leq 1 \\\Rightarrow{Dom f}= \left(-\infty, 1\right]\end{matrix}$

Este resultado indica que la función se define sólo para los números reales menores o iguales a 1.

2.2.2.3 LA VARIABLE X NO FORMA PARTE DE UN DENOMINADOR NI DE UN RADICAL PAR.

Para este caso, el conjunto dominio de f, es el conjunto de los números reales. Veamos el ejemplo: 

Sea $f$ una función definida por la expresión:
$$f(x)=\frac{3x-2}{5}$$. 

Determinar su dominio.

La expresión $$\frac{3x-2}{5}$$,
no tiene restricciones, por lo tanto cualquier número real tiene imagen en el conjunto de llegada, mediante $f$, y escribimos que $Dom f = R$.

2.2.3 DETERMINAR EL RANGO DE UNA FUNCIÓN.

El rango de una función $f$, es el conjunto de los números reales, que son imágenes de algún elemento del dominio, mediante $f$.

Determinar el rango, consiste en analizar todos los valores posibles que pueda tomar la variable $y$, tal que la variable $x$ sea un número real. Para esto, se despeja la variable $x$ en función de la variable $y$.

Por ejemplo:

El rango de la función descrita en el punto 2.2.2.1, se calcula asi:

$$\begin{matrix}y=\frac{5}{2x-3}\Rightarrow 2x-3=\frac{5}{y}\\\Rightarrow 2x=\frac{5}{y}+3\\\Rightarrow 2x=\frac{5+3y}{y}\\\Rightarrow x=\frac{5+3y}{2y}\\ \end{matrix}$$

Lo anterior muestra que: $$Rgo_f=\mathbb{R}-\left\{{0}\right\}$$

El siguiente enlace contiene una guía de ejercicios de funciones.

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CONCEPTOS BASICOS DE UNA FUNCION

Ya conocemos que la palabra función se utiliza para expresar relaciones o vínculos de variables respecto a otras.

En el contexto matemático, el concepto de función tiene el mismo significado, pero de acuerdo a la rigurosidad de la ciencia, es necesario que se definan algunos conceptos básicos.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.

Supóngase que existen dos conjunto $A$ y $B$, no vacíos.

Llamaremos función a la relación o regla de correspondencia entre los conjuntos $A$ y $B$, que satisface las siguientes condiciones:

1. Todos los elementos del conjunto $A$, deben estar relacionados con algún elemento del conjunto $B$.
2. A cada elemento del conjunto $A$, le corresponde un y sólo un elemento del conjunto $B$.

Estas dos condiciones se pueden expresar de la siguiente manera:

Si $A$ y $B$ son dos conjunto, no vacíos, llamamos función de $A$ en $B$ a la relación o correspondencia que asocia a todo elemento de $A$, con un y sólo un elemento de $B$.

Esta correspondencia (o regla) se denota por $f$, y se escribe como: $f:A\rightarrow{B}$, que se lee "$f$ es una función de $A$ en $B$", entendiendo que $f$ es una relación que vincula a un elemento $x\in{A}$, con un único elemento $y\in{B}$.

El elemento $y\in{B}$, se dice que es la imagen de x mediante $f$, lo cual se indica escribiendo $y=f(x)$

El elemento $x\in{A}$, se denomina pre-imagen de $f$.

El conjunto $A$, se denomina Dominio de la función, (o conjuto de partida).

El conjunto $B$, se denomina Codominio de la función, (o conjunto de llegada) 

El conjunto de las imagenes de $f$ es el rango (Rgo) de la función. Es decir, $\mbox{Rango }de\mbox{ f}=\left\{{f(x): x\in{A}}\right\}$.

Es claro que $Rgo\subseteq{Codom}$.
ELEMENTOS NECESARIOS PARA DEFINIR UNA FUNCIÓN.

Se dice que una función $f$, esta bien definida, si se conocen los siguientes elementos:

• El dominio.
• El Codominio.
• La ley o regla de correspondencia, $f(x)$, que indica la forma en que $f$ asigna a cada $"x"$ del dominio, algun $"y"$ del Codominio.

FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN.

Una función se puede expresar por una de las siguientes formas:

Mediante un enunciado: en este caso, la función se expresa enunciando la propiedad que establece la relación o correspondencia entre los elementos del dominio y del codominio.Por ejemplo:

• Sean $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$, el conjunto de los números naturales y enteros espectivamente. Se puede formular la siguiente función: 

$f:\mathbb{N}\rightarrow{\mathbb{Z}}$,

• como la función que: "a cada natural, le asocia el mismo número disminuido en 10". En este caso, el enunciado describe a la función y a los conjuntos que la definen.

Mediante un diagrama de venn: en esta forma, la función se representa visualmente a traves de flechas que relacionan los elementos de los conjuntos. Por ejemplo:

Indicando la imagen de cada elemento: en esta forma, la función se define con las imagenes  correspondiente  a cada elementos del dominio, mediante f.

Por ejemplo, la función definida por,

$f: \left\{{2, 4}\right\}\rightarrow{\mathbb{Q}}$, tal que:

• $f(2)=\frac{2}{3}$
• $f(4)=\frac{4}{3}$, es una función que a todo elemento del dominio, le hace corresponder su tercera parte.

Mediante pares ordenados: la función se expresa como el conjunto de pares ordenados de números reales de la forma $f(x)$, donde:

• no hay dos pares ordenados distintos que tengan el mismo primer elemento. Es decir, $y=f(x)$ es unica para un valor específico de $x$.
• los valores $x$ representan los elementos del dominio.
• los valores resultantes $y=f(x)$, reprensentan el contradominio de la función.

Por ejemplo:

• La función del ejemplo anterior, se puede representar como $f=\left\{{\left(2, \frac{2}{3} \right);\left(4, \frac{4}{3} \right) }\right\}$

Mediante una expresión algebraica: esta es la forma más utilizada, e indica a través de un modelo matematico la relación entre los elementos del dominio con su imagen. Por ejemplo:

• La función $f:\mathbb{Z}\rightarrow{\mathbb{Z}}$, que asocia "cada entero con su cubo aumentado en uno", se puede expresar mediante la siguiente fómula matemática, donde si x, es culaquier elemento del dominio, entonces su imagen viene dada por $f(x)=x^3+1$
• Esta función, se expresa como: $f:\mathbb{Z}\rightarrow{\mathbb{Z}}$, tal que $f(x)=x^3+1$.

Guía de ejercicios resueltos 

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IDEA INTUITIVA DE FUNCION

El concepto de función, es uno de los conceptos más importantes de las matemáticas. Su aplicación es notable en otras ciencias como la física, química, computación, etc.

Intuitivamente, una función es el desempeño de un conjunto de actividades de uno o varios elementos para lograr un objetivo concreto y bien definido.

Es por ello, que escuchamos expresiones como: 

• La oferta de un bien o servicio está en función de su demanda.
• La demanda de un bien o servicio es una función del precio.
• La producción esta en función de la infraestructura maquinaria. 
• Los impuestos se pagan en función de los ingresos.
• Los resultados obtenidos en las pruebas es una función del tiempo dedicado a estudiar.
• El sueldo o salario depende de las horas trabajadas. 
• El crecimiento de las personas está en función de la edad, y otros mas. 

De acuerdo a lo anterior, se puede observar que el valor de una variable depende del de otra. 

Esta relación entre cantidades, generalmente se puede caracterizar a traves del concepto de función.

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INECUACIONES Y DESIGUALDADES DE NUMEROS REALES

Desigualdades

El ordenamiento de $\mathbb{R}$, se lleva a cabo a través de las relaciones denotadas por los símbolos $\prec$; $\succ$; $\leq$ y $\geq$ que significan "menor que"; "mayor que"; "menor o igual que" y "mayor o igual que" respectivamente.
 

Sean $\ x,\,y,\,z,\,\in \mathbb{R}$

Definición 1. 

1. $x\prec y \Leftrightarrow y-x\succ 0 $
2. $x\succ y \Leftrightarrow x-y\succ 0 $

Definición 2. 

1. $x\leq y\Leftrightarrow x\prec y \vee x=y$
2. $x\geq y\Leftrightarrow x\succ y \vee x=y$

Definición 3.

Los enunciados $\prec$; $\succ$; $\leq$ y $\geq$, se denominan desigualdades.

Definición 4.  Desigualdad contínua.

1. $x\prec y\prec z\Leftrightarrow x\prec y \wedge y\prec z$
2. $x\leq y\leq z\Leftrightarrow x\leq y \wedge y\leq z $
3. $x\prec y\leq z\Leftrightarrow x\prec y \wedge y\leq z$
4. $x\leq y\prec z\Leftrightarrow x\leq y \wedge y\prec z$

Definición 5. 

1. $a\succ 0\Leftrightarrow a\in \mathbb{R}^+$
2. $a\prec 0\Leftrightarrow a\in \mathbb{R}^-$

Las siguientes propiedades se enuncian sin demostración y son consecuencia inmediata de la propiedad de orden.

Intervalos.

Los siguientes subconjuntos de \mathbb{R}, se denomina Intervalos.

Supóngase $ a,\,b,\,\in \mathbb{R}$ y $a\succ b$

Definición 1.  

Llamaremos intervalo abierto y lo denotado por (a, b), al siguiente conjunto:$(a,b)=\left\{ x\in \mathbb{R}/a\prec x\prec b \right\}$

Definición 2  

Llamaremos intervalo cerrado de extremos a y b y lo denotado por [a, b], al siguiente conjunto:$[a,b]=\left\{ x\in \mathbb{R}/a\leq x\leq b \right\}$

Definición 3  

Llamaremos intervalo semi-abierto por la izquierda, al siguiente conjunto denotado por (a, b]:$(a,b]=\left\{ x\in \mathbb{R}/a\prec x\leq b \right\}$

Definición 4  

Llamaremos intervalo semi-abierto por la derecha al siguiente conjunto denotado por [a, b):$[a,b)=\left\{x\in \mathbb{R}/a\leq x\prec b \right\}$

Los símbolos "más infinito o infinito positivo"$+\infty$ y $-\infty$ "menos infinito o infinito negativo",  no se debe confundir con números reales.

Definición 5.1
$ \big(-\infty, b\big)= \big\{x \in R\mid x \prec b\big\}$ 

Definición 5.2

$ \left(-\infty, b\right]=\big\{x \in\mathbb{R} \mid x  \preceq b\big\}$

Definición 5.3
$\left(a ,+\infty\right)=\big\{x \in\mathbb{R} \mid x \succ a\big\}$

Definición 5.4

$\left[a ,+\infty\right)=\big\{x \in\mathbb{R} \mid x\geq a\big\}$

Definición 5.5

$(-\infty ,+\infty)= \mathbb{R} $

Solución de desigualdades.

Llamamos solución de una desigualdad de variable real x, al conjunto de todos los números reales que, al reemplazarlos en la desigualdad la convierte en una proposición verdadera.

A diferencia de las ecuaciones, cuya solución, en general es un número o quizá un conjunto finito de números, el conjunto solución, de una desigualdad consta por lo común de:

1. Un intervalo,
2. Unión infinita de intervalos y
3. En algunos casos el conjunto vacío.

Por ejemplo:

• El conjunto solución de la desigualdad $x^{2}-x\prec 6$, es el intervalo $\left(-2,\, 3 \right)$.
• El conjunto solución de la desigualdad $x^{2}-x\geq 6$,es el intervalo $\left(-\infty, -2 \right]\bigcup \left[3, +\infty \right)$. 
• El conjunto solución de la desigualdad $x^{2}+5 = 4$, es el conjunto vacío.

Para resolver desigualdades se deben utilizar las propiedades de orden , considerando los siguientes aspectos:

• Se puede sumar (restar) la misma cantidad en ambos miembros de una desigualdad.
• Se puede multiplicar (dividir) ambos miembros de la desigualdad por una misma cantidad positiva y se mantiene el sentido de la misma.  
• Se puede multiplicar (dividir) ambos miembros de la desigualdad por una misma cantidad negativa y se invierte el sentido de la misma.

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RESOLUCION DE ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad  que debe satisfacerse para determinados valores de variables o incógnitas ligadas a constantes, mediante operaciones. 

Por ejemplo:

La igualdad $6+X=9$, es una ecuación, donde:

• La expresión $6+X$, que aparece a la izquierda del signo de la igualdad se denomina, el primer miembro.
• El segundo miembro, es la expresión que aparece a la derecha, en este caso, el 9.
• La equis (x), es la variable o incógnita de la ecuación.
• Los valores 6 y 9 se denominan constantes de la ecuación.
• Cada uno de los símbolos (variables o constantes) que están separados por los signos (+) o (-), se llaman términos.

• En el primer miembro de la ecuación tenemos dos terminos, el $6$ y la $X$ (equis), mientras que en el segundo miembro aparece sólo un termino, el $9$.

Resolver una ecuación, es hallar el(los) valor(res) que puede tomar la variable X, para que se satisfaga la igualdad.

En este caso, $x=3$, es la solución de la ecuación.

Es decir, $3$ es el valor debe tomar la variable X en la ecuación, para que el enunciado de la igualdad sea cierto.
Practica de ecuaciones lineales.

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LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje algebraico es el que se emplea para expresar, simbólicamente, el enunciado de un problema.

La resolución de problemas requiere de la utilización de este lenguaje, específicamente en el momento de expresar el enunciado en ecuaciones.

Al escribir una expresión algebraica se pueden emplear cualquier letra.

Veamos los siguientes ejemplos:

       Enunciado                                Expresión algebraica

"El doble de un número":                       $2.x$

"Un múltipo de siete" :                         $7.x$

"El cuadrado de un número":                  $x^2$

"La semisuma de dos números"              $$\frac{a+b}{2}$$.

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OPERACIONES NUMERICAS COMBINADAS

Para resolver operaciones combinadas, se considera la jerarquía u orden de resolución entre ellas. 

En ese sentido, se debe respetar el siguiente criterio:

1. Resolver las operaciones planteadas entre los paréntesis, corchetes y las llaves. 
2. Calcular las potencia y raices.
3. Resolver las multiplicaciones y divisiones, vale decir, obtener los productos y cocientes.
4. Efectuar las suma y las restas.  

Determine el valor de X:

$$x=\frac{\left(\frac{1}{4} \right)^{-5}-\left(\frac{2}{3} \right)^{-5}}{\left(\frac{1}{4} \right)^{-3}-\left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}$$

Solución:

$$x=\frac{\frac{1}{\left( \frac{1}{4}\right)^5}-\frac{1}{\left( \frac{2}{3}\right)^5}}{\frac{1}{\left( \frac{1}{4}\right)^3}-\frac{1}{\left( \frac{2}{3}\right)^3}}$$ [Potencia de exponente negativo].

$$x=\frac{\frac{1}{\frac{1}{4^5}}-\frac{1}{\frac{2^5}{3^5}}}{\frac{1}{\frac{1}{4^3}}-\frac{1}{\frac{2^3}{3^3}}}$$ [Potencia de un cociente]

$$x=\frac{4^5-\frac{3^5}{2^5}}{4^3-\frac{3^3}{2^3}}$$[Inverso de un número racional]

$$x=\frac{\frac{4^5\cdot{2^5}-3^5}{2^5}}{\frac{4^3\cdot{2^3}-3^3}{2^3}}$$[Diferencia de fracciones]

$$x=\frac{\left(4^5\cdot{2^5}-3^5 \right)\cdot{2^3}}{\left(4^3\cdot{2^3}-3^3 \right)\cdot{2^5}}$$[División de fracciones]

$$x=\frac{\left(\left(2^2\right)^5\cdot{2^5}-3^5 \right)\cdot{2^3}}{\left(\left(2^2 \right)^3\cdot{2^3}-3^3 \right)\cdot{2^5}}$$[Interpretando 4 como potencia de potencia]

$$x=\frac{\left(2^{10}\cdot{2^5}-3^5 \right)\cdot{2^3}}{\left( 2^6\cdot{2^3}-3^3 \right)\cdot{2^5}}$$[Potencia de potencia]

$$x=\frac{\left(2^{15}-3^5 \right)\cdot{2^3}}{\left( 2^{9}-3^3 \right)\cdot{2^5}}$$[Multiplicación de potencias de igual base]

$$x=\frac{\left(2^{15}-3^5 \right)}{\left( 2^{9}-3^3 \right)}\cdot{2^{3-5}}$$[Cociente de potencias de igual base]

$$x=\frac{32768-243}{\left(512 - 27 \right)\cdot{4}}$$[Efectuando las potencias indicadas]

$$x=\frac{32525}{485\cdot{4}}$$[Efectuando las operaciones indicadas]

Finalmente, al simplificar tenemos: $$x=\frac{6505}{388}$$

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OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS REALES

Axiomas de Campo

Para todo $\ a,\,b,\,c,\,d,\,\in \mathbb{R}$ se cumple:

Axioma 1.  Ley de cerramiento.   

• $a+b$, es un número real único.
• $a.b$, es un número real único.

Axioma 2.  Leyes conmutativas.

• $a+b=b+a$, conmutativa para la operación ( + )
• $a.b=b.a$, conmutativa para la operación ( . )

Axioma 3.  Leyes asociativas.  

• $a+(b+c)=(a+b)+c$, asociativa para la operación ( + )
• $a.(b.c)=(a.b).c$, asociativa para la operación ( . )

Axioma 4.  Ley distributiva.  

• $a.(b+c)=(a.b)+(a.c)$

Axioma 5.  Existencia de elementos neutros (de identidad o modulativa)   

• Existe el número real $0$ (cero), tal que para todo $a\in \mathbb{R}$ se cumple: $a+0=0+a=a$ 

• Existe el número real $1$(uno), tal que para todo $a\in \mathbb{R}$ se cumple: $a.1=1.a=a$ 

El número real 0 es se conoce como elemento neutro para la adición. 
El número real 1 es se conoce como elemento neutro para la multiplicación.

 
Axioma 6.;Existencia del inverso aditivo.

• Para cada número real $a\in \mathbb{R}$, existe un real único, llamado inverso aditivo o simétrico de $a$, que se denota $- a$, tal que:$a+(-a)=0$

Axioma 7.Existencia del inverso multiplicativo.

• Para cada número real $a\in \mathbb{R}$, existe un real único, llamado inverso multiplicativo o recíproco de $a$, que se denota $a^{-1}$ o $\frac{1}{a}$, tal que:$a.a^{-1} =a.\frac{1}{a} =1$.

Observe que - a no significa un número negativo, aunque en algunas ocasiones puede serlo. Note que -3 es negativo y es el opuesto de 3, mientras que -(-5) es positivo y es el opuesto de –5. 
Axiomas de Orden.

Los axiomas o propiedades del sistema de los números reales que se enuncian a continuación se expresan en términos de un cierto subconjunto especial de $\mathbb{R}$este subconjunto denotado por $\mathbb{R}^+$se identifica con el conjunto de los reales positivos.

En general, cualquier campo que tenga un subconjunto P con las propiedades mencionadas a continuación, es llamado un campo ordenado.

En el caso particular que se estudiará, estas propiedades permiten establecer que el sistema de los números reales es un campo ordenado.

Axioma de orden 1.

Existe $\mathbb{R}^+\subset \mathbb{R}$ tal que, si $a,\,b\, \varepsilon \mathbb{R}^+$, entonces:

• $a+b\in{\mathbb{R}^+}$ y $a.b\in{\mathbb{R}^+}$

Para cada $a\in{\mathbb{R}^+}$, una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera:

• $a\in{\mathbb{R}^+}$
• $a=0$
• $-a\in{\mathbb{R}^+}$

Los elementos $a\in \mathbb{R}$ para los cuales $a\in{\mathbb{R}^+}$, se denominan:reales positivos.

Los elementos $a\in \mathbb{R}$ para los cuales $-a\in{\mathbb{R}^+}$, se denominan:reales negativos.

Vea también el conjunto de los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. 

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PROPIEDADES DE NUMEROS IRRACIONALES

• Un número irracional es aquel que representa una expresión decimal no periódica e ilimitada.
• Un número irracional siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa. Pero, no todo punto de la recta representa a un número irracional.
• Como todo numero irracional esta definido por una expresión decimal infinita no periódica, un numero no puede ser al mismo tiempo racional e irracional, por tanto : $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{I}$; son conjuntos disjuntos, es decir, que su intersección es el conjunto vacío: $\mathbb{Q}\cap \mathbb{I}= \emptyset$

Vea también el conjunto de los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. 

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OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS RACIONALES

• En el conjunto $\mathbb{Q}$, están bien definidas las operaciones, adición, multiplicación, sustracción y división, para cualquiera par de números racionales.
• Las propiedades básicas;del conjunto $\mathbb{Z}$ junto a las operaciones de suma (+) y producto (.) de los números enteros se extienden a los racionales.
• La raiz de un número racional , es otro racional, sólo si la raiz es exacta o cuando el indice es par y la cantidad subradical es positiva.   
• Se añade la propiedad del multiplicativo inverso, que sostiene que para todo racional distinto de cero, existe otro racional que multiplicado con aquel da como resultado la unidad, 1:

$$\displaystyle\frac{a}{b}.(\frac{a}{b})^{-1}=\frac{a}{b}.\frac{b}{a}=1$$

• La suma y el producto se realizan según la siguiente regla de operación, donde $\frac{m}{n}$ y $\frac{p}{q}$son números racionales:

$$\frac{m}{n}+\frac{p}{q}=\frac{m.q+n.p}{n.q}$$

$$\frac{m}{n}.\frac{p}{q}=\frac{m.p}{n.q}$$

• Siempre que se asuma que el número $\frac{m}{n}$ es racional, se entenderá que n es distinto de cero.
• Los racionales $\frac{m}{n}$ y $\frac{p}{q}$ son iguales sí y solo si se cumple que:

$$m.q=n.p$$ 

• Los números racionales se pueden expresar como: i) números enteros, ii) números con expresiones decimales limitadas o iii) periódicas ilimitadas. Por ejemplo:

1. Cociente entero :$6=\frac{12}{2}$
2. Cociente con cantidades decimales limitadas,$ 0.3=\frac{3}{10}$; $2.25=\frac{9}{4}$; $5.1875=\frac{83}{16}$
3. Cociente con cantidades decimales periódicas ilimitadas
   $0.333...=\frac{1}{3}$;$1.571428571428...=\frac{11}{7}$.
4. En los casos anteriores existen cifras que se repiten de manera periodica e ilimitada, tal es el caso del 3 y el 571428 respectivamente.

• Un número racional siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa. Pero, no todo punto de la recta representa a un número racional.
• Entre dos números enteros consecutivos, existen infinitos números racionales. Por ello, se dice que el Conjunto $\mathbb{Q}$, es denso.
• Insuficiencia del sistema de los números racionales:

1. Al igual que en los otros conjuntos numéricos, el conjunto $\mathbb{Q}$ se hace insuficiente, particularmente ante soluciones de ecuaciones tipo:$x^2-2=0$.
2. Los números decimales con expresiones decimales no periódicas e ilimitadas, no pueden expresarse como cociente de dos enteros, por ejemplo:

• el número $e\approx 2.7182818284590452354...$, 
• el número$\pi \approx 3.14159265358979323846...$, 
• $\sqrt[]{2} \approx 1,41421356237309504880168872420...$ y otros, por lo tanto no son racionales.

Vea también el conjunto de los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. 

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OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS ENTEROS

• En el conjunto $\mathbb{Z}$, están bien definidas las operaciones, adición, multiplicación y sustracción.
• Las propiedades básicas del conjunto $\mathbb{N}$ junto a las operaciones (+), (.) y las de orden, también se cumplen para los elementos de $\mathbb{Z}$, y se añade "la propiedad del elemento simétrico" .
• Existencia del elemento simétrico para (+): sostiene que para todo número entero, existe otro entero, que sumado con aquel da como resultado el número cero: $a+(-a)=(-a)+a=0$.

• La relación de orden $\leq$ en $\mathbb{Z}$, se define así:$a\leq b$, si $b-a\geq 0$.
• El Teorema fundamental de la aritmética, se enuncia de esta manera: dados los números enteros $n$ y $d$, diremos que $d$ es un divisor de $n$, denotado por $d/n$, si existe un numero entero $c$, tal que $n=c.d$
• Decir que $d$ es un divisor de $n$, es equivalente a decir que $n$ es múltiplo de $d$.
• Decimos que un número entero $n$, mayor que $1$, es primo si $n$ admite como únicos divisores posibles, tanto al mismo $n$ como a $1$. En caso contrario, decimo que $n$ es compuesto.
• Diremos que el numero $d$, mayor que $1$, es el Máximo Común Divisor de los números $a$ y $b$, denotado como $MCD (a, b)$, si el número $d$ divide tanto a $"a"$ como a $"b"$, pero además, cada divisor de $"a"$ y $"b"$ divide también a $d$.
• La raiz de un número entero, es otro entero, sólo si la raiz es exacta o cuando el indice es par y la cantidad subradical es positiva.  
• La potenciación en $\mathbb{Z}$, es la operación definida como: $\underbrace{ a.a.a.\cdots.a }_{n\:veces}=a^n$,donde $a\in{Z}$ y $n\in{Z^+}$

• Insuficiencia del sistema de los números enteros:

1. La operación división (/) de los números enteros "a y b", expresada como a/b, está definida en $\mathbb{Z}$, solo cuando el dividendo "a" es múltiplo del divisor "b",distinto de cero. 
2. La potenciación es $\mathbb{Z}$, no está definida cuando el exponente es negativo.

• Un número entero siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa. Pero, no todo punto de la recta representa a un número entero.
• Entre dos números enteros consecutivos, no existe ningún número entero.

Vea también el conjunto de los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. 

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OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NUMEROS NATURALES

El sistema de los números naturales se caracteriza por el conjunto de los números naturales y dos operaciones llamadas adición (+)  y multiplicación (^.). El conjunto N junto a la operaciones (+) y (.) cumple con la propiedad de clausura, es decir, ambas operaciones están bien definidas en N, para cualquier número natural.

• La expresión $a+b$, representa la operación adición (+) de los números naturales $a$ y $b$.
• La expresión $a.b$, representa la operación multiplicación (.) de los números naturales $a$ y $b$.
• La potenciación en N, es la operación definida como: $\underbrace{ a.a.a.\cdots.a }_{n\:veces}=a^n$,donde $a, n\in N$

1. El natural $a$, es es la base de la potencia.
2. El natural $n$, es exponente de la potencia.
3. El natural $a^n$ es la potencia enésima de $a$.

Insuficiencia del sistema de los números naturales:

1. La expresión $\frac{a}{b}$, representa la operación división(/) de los números naturales $a$ y $b\neq 0$, llamados dividendo y divisor respectivamente. La división en N, está definida sólo cuando el dividendo es múltiplo del divisor.
2. La expresión $b-a$, representa la operación sustracción (-) de los números naturales $a$ y $b$, llamados minuendo y sustraendo respectivamente. La sustracción en N , está definida sólo cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo. Es decir, cuando $b\geq a$
3. La raiz enésima de un número natural b, es otro natural a, sólo cuando es exacta.

Propiedades básicas de los números naturales junto a las operaciones suma (+), producto (.).

Cualquiera que sean los números naturales a, b y c, se cumple:

• Propiedad conmutativa respecto a la adición (+)

$a+b=b+a$

• Propiedad asociativa respecto a la adición (+)

$a+(b+c)=(a+b)+c$

• Existencia del elemento neutro respecto a la adición (+)

$a+0=a+0=a$

• Propiedad conmutativa respecto a la multiplicación  (.)

$a.b=b.a$

• Propiedad asociativa respecto a la multiplicación  (.) 

$a.(b.c)=(a.b).c$

• Existencia del elemento neutro respecto a la multiplicación (.)

$a.1=1.a=a$

• Propiedad distributiva de la multiplicación (.) respecto a la adición (+).

$a.(b+c)=a.b+a.c$

• Propiedad de orden (tricotomía): Si n, m son números naturales, entonces se tiene exactamente una de estas tres posibilidades:

$n\prec m$; $n=m$; $m\prec n$

Vea también el conjunto de los números naturales, enteros , racionales, irracionales y reales. 

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Una operación matemática es la acción de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce como ley de composición.

La clausura indica que el resultado de la operación entre dos elementos de un conjunto, también pertenece al conjunto. Se dice que  N junto a las operaciones  (+), (.), es cerrado. Por ejemplo, al sumar (o multiplicar) dos números naturales, se obtiene como suma (o producto) otro número  natural.

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