NUMEROS REALES

Se define el Conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales como:$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \mathbb{I}$

Al igual que en los anteriores sistemas numéricos, el sistema de los números reales nace para superar la limitación de solucionar ecuaciones como $x^2-2=0$. Es por ello, que se impone la necesidad de construir un conjunto, que contenga a los racionales, mantenga las propiedades y ofrezca solución a la ecuación anterior.  

• En el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales, se definen dos operaciones a saber: la adición (+) y la multiplicación (.), las cuales verifican todas las propiedades estudiadas en los anteriores sistemas numéricos. Las propiedades de los números reales se denominan axiomas de campo.
• Un número real siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa y viceversa. Esta propiedad permite la posibilidad de tratar a los números reales como puntos de una recta.
• El conjunto $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}-\left\{{0}\right\}$,es decir, los reales sin el cero.
• El conjunto $\mathbb{R}^+$, se denomina los reales positivos (No negativos).
• El conjunto $\mathbb{R}^-$, se denomina los reales negativos (No positivos).
• El conjunto $ \mathbb{R}=\mathbb{R}^+\cup\left\{{0}\right\}\cup \mathbb{R}^-$.

Vea también las propiedades de los números reales y el conjunto de los números naturales,  enteros,  racionales e irracionales. 

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NUMEROS IRRACIONALES

Llamaremos Conjunto de números Irracionales, denotado por $\mathbb{I}$, a los números cuyas representaciones decimales son no periódicas ilimitadas,  y no admiten la representación como el cociente de dos enteros. Ejemplo de estos números son:

1. El número de Euler, $e\approx 2.7182818284590452354...$. Este número aparece de manera natural en el estudio de fenómenos asociados a crecimientos poblacionales, desintegración radiactiva, calculo de intereses, etc.
2. El número pi,$\pi \approx 3.14159265358979323846...$.Este número se conoce desde hace cerca de 4000 años. Esta letra griega, equivale a la letra p de nuestro alfabeto, proviene de la palabra periferia, en alusión al perímetro o longitud de la circunferencia.
3. El número de Liouville,$\approx 1.101001000100001...$.En honor al matemático francés del siglo XIX, J. Liouville.
4. También son irracionales los números $\sqrt[]{2}$; $\sqrt[]{3}$; $\sqrt[]{5}$; $\sqrt[]{7}$        
5. Si el numero racional $n$ no es un cuadrado perfecto, entonces $\sqrt[]{n}$ no es un número racional.

Vea también propiedades de los números irracionales y el conjunto de los números naturales, enteros, racionales y reales. 

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NUMEROS RACIONALES

En los apartados anteriores describimos los sistemas de numeración para $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$.

Ya hemos comentado que ecuaciones como $3.x=5$ no admiten soluciones enteras, dado que $5$ debe ser múltiplo de $3$ ó de otra forma $3$ debe dividir a $5$, lo cual no es el caso.

De allí que nace la necesidad de construir un conjunto, que contenga a los números enteros, se mantengan las propiedades anteriores y la ecuación: $a.x=b$, $a\neq 0$ y $a, b \in{Z}$, tenga siempre solución.

Este nuevo conjunto numérico, que contiene a $\mathbb{Z}$, y permite superar la limitación de resolver tal ecuación, se denomina el conjunto de los números racionales (fraccionarios o quebrados), lo denotamos por $\mathbb{Q}$, y se presenta así:$\mathbb{Q}=\left\{{\frac{a}{b}},\:a,b\in{Z},\:b\neq 0\right\}$

• Un número racional se representa como el cociente de números enteros $a$ y $b$, donde $a$ es el numerador y $b$ es el denominador.
• Los siguientes son algunos números racionales:   

• El conjunto de los números racionales no posee un primer elemento para la relación de orden $\leq$. Esto es, no existe un racional menor o igual que cualquier otro racional.
• El conjunto de los números racionales no posee un último elemento para la relación de orden $\leq$. Esto es, no existe un racional mayor o igual que cualquier otro racional.
• El conjunto, $\mathbb{Q}^*=\mathbb{Q}-\left\{{0}\right\}$ es decir, los racionales sin el cero.
• El conjunto $\mathbb{Q}^+=\left\{{\frac{a}{b}:(a,b\in{\mathbb{Z}^+})\vee(a,b\in{\mathbb{Z}^-})}\right\}$
• El conjunto $\mathbb{Q}^-=\left\{{\frac{a}{b}:(a\in{\mathbb{Z}^+},b\in{\mathbb{Z}^-})\vee(a\in{\mathbb{Z}^-},b\in{\mathbb{Z}^+})}\right\}$
• El conjunto $ \mathbb{Q}=\mathbb{Q}^+\cup\left\{{0}\right\}\cup \mathbb{Q}^-$
• Todo numero natural y en consecuencia todo entero $n$, se puede escribir como el racional $\frac{n}{1}$.
• Luego, $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$.

Vea también las propiedades de los números racionales y el conjunto de los números naturales, enteros, irracionales y reales 

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NUMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros, nace de la necesidad de extender el conjunto $\mathbb{N}$ para dar solución a ecuaciones tipo $a+x=b$, cuando $b\prec a$.

Ya hemos visto que para el caso $b\geq a$, la ecuación tiene solución en $\mathbb{N}$.

Para ello, se amplia el sistema mediante la incorporación de ciertos elementos o números llamados números negativos que permitan superar las limitaciones, en cuanto a la operación "diferencia entre dos números", que presentan los naturales.

A este nuevo conjunto extendido, lo llamamos conjunto de los números enteros, lo denotamos por $\mathbb{Z}$, y se presenta así:

$\mathbb{Z}=\left\{{.\:.\:.\:-3, \:-2, \:-1, \:0, \:1, \:2, \:3, .\:.\:.\:}\right\}$

• El conjunto de los números enteros no posee un primer elemento para la relación de orden $\leq$. Esto es, no existe un entero meno o igual que cualquier otro entero.
• El conjunto de los números enteros no posee un último elemento para la relación de orden $\leq$. Esto es, no existe un entero mayor o igual que cualquier otro entero.
• El conjunto $\mathbb{N}$ está contenido en el conjunto $\mathbb{Z}$, y se denota así: $\mathbb{N}\subset{\mathbb{Z}}$.
• El conjunto $\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}-\left\{{0}\right\}$, es decir, los enteros sin el cero.
• El conjunto $\mathbb{Z}^+=\left\{{1,\:2,\:3,\:4,\:...}\right\}$, se denomina los enteros positivos (No negativos).
• El conjunto $\mathbb{Z}^-=\left\{{-1,\:-2,\:-3,\:-4,\:...}\right\}$, se denomina los enteros negativos (No positivos).
• El conjunto $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}^+\cup\left\{{0}\right\}\cup \mathbb{Z}^-$.
• Una de las aplicaciones de los números enteros, es la que  tiene que ver con situaciones que asocien el concepto de dirección o sentido. Tal es el caso de designar los haberes con el signo (+) y la deudas con el signo (-), o con el signo(+) los grados por encima de cero y por debajo de cero con el signo(-).

Vea también las propiedades de los números enteros y el conjunto de los números naturales,  racionales, irracionales y reales

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NUMEROS NATURALES

El conjunto de los números naturales esta formado por el cero y los números utilizados para contar 1, 2, 3, 4, 5,...,. Lo denotamos por $\mathbb{N}$ y corrientemente se presentan así:

$\mathbb{N}= \left\{{0, 1, 2, 3, 4, ...}\right\}$

Al conjunto cuyos elementos son los números naturales sin el cero, se les denota $\mathbb{N^*}$; esto es:

$\mathbb{N^*}= \left\{{1, 2, 3, 4, 5, ...}\right\}$

• La utilidad primitiva de estos números se encuentra en la de contar objetos de un conjunto y de asignar un símbolo a una determinada cantidad de objetos.
• El número cero es el primer número natural. Es el primer elemento para la relación de orden $\leq$.Esto es, cero es menor o igual que cualquier otro número natural.
• Todo número natural tiene otro distinto que le sucede. No posee último elemento.
• Un número natural siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa. Pero, no todo punto de la recta representa a un número natural.
• Entre dos números naturales consecutivos, no existe ningún número natural.
• Para indicar que la letra n representa un número natural, escribimos $n\in{\mathbb{N}}$

Los siguientes son subconjuntos de los Números Naturales:

• Los números pares

$\left\{{x\in{\mathbb{N}:\:x=2n,\:n\in{\mathbb{N}}}}\right\}$

• Los números impares

$\left\{{x\in{\mathbb{N}:\:x=2n+1,\:n\in{\mathbb{N}}}}\right\}$

• Los números primos o aquellos que son divisibles por sí mismo y por la unidad.

$\left\{{2, 3, 5, 7, 11, ...}\right\}$

• El conjunto de los números compuestos, vales decir, aquellos que no son primos.

Vea también las propiedades de los números naturales y el conjunto de los números enteros, racionales, irracionales y reales. 

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SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

El sistema de los números reales se caracteriza por el conjunto de los números reales y dos operaciones llamadas adición y multiplicación. Este sistema es el elemento básico del análisis matemático.

El estudio del sistema de los números reales se lleva a cabo por dos métodos principales:

o   Método 1 (intuitivo): se comienza con un sistema más primitivo, vale decir la utilización de los conjuntos naturales y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales.   

o    Método 2 (axiomático): se asume la existencia de los números reales y se hace una descripción formal del sistema de los números reales a través de un conjunto de propiedades (axiomas) de las cuales se deducen otras.   

En este curso, se utilizará el método axiomático, en lugar del desarrollo inductivo. Se asume la existencia del conjunto de los números reales y desarrollaremos el sistema axiomático.

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EL ENSAYO

El ensayo, es un género literario caracterizado por la interpretación libre de un tema sin el requerimiento de una estructura documental rígida y con libertad de estilo. 

• Se utiliza la modalidad expositiva - argumentativa, para convencer de manera lógica al lector.
• El tema es de selección libre.
• Estilo documental es sencillo, natural, amistoso.
• Es subjetivo y permite utilizar en el texto elementos como: citas, proverbios, anécdotas, recuerdos personales.
• Es asistemático.
• Extensión variable.
• Va dirigido a un público amplio.
• Conciencia artistica.

Generalmente, se estructura en tres partes: la introducción, el desarrollo y la conclusión. 

Para una mayor profundización del tema, puede visitar: La enciclopia libre wikipedia (s.f). Definición y origen del ensayo.[En linea]. Recuperado el 05 de junio de 2010, de http://es.wikipedia.org/wiki/Ensayo. 

Tambien puede revisar el siguiente material de apoyo, el cual puede expandir utilizando el botón superior derecho "Abrir en una ventana nueva":

Cómo realizar un ensayo

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NORMAS A.P.A

Con el objeto de: 

• Presentar los trabajos escritos.
• Citar y referenciar a los autores para apoyar una investigación.
• Mantener la ética.
• Evitar el plagio.
• Proteger la propiedad intelectual.

Se recomienda utilizar la Normas de la American psychological Association (APA), cuyas generalidades puede revisar pulsando ¿Qué es A.P.A?

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INSERTAR FORMULAS MATEMATICAS CON LATEX

Esta es una prueba de la herramienta $\LaTeX{}$

$$\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6}$$

$$\sum_{i=1}^nx_i$$ $$\sqrt{\pi}$$

Se pueden insertar matrices:

$$\begin{pmatrix}a\: b \\c\:d\end{pmatrix}$$

se pueden poner fracciones, como:

$a_i+a_j=\frac{1}{2}$

$1\over z$,$$1\over\displaystyle 1+{1\over x}$$

Utilizar letras griegas:

$\alpha$; $\beta$; $\gamma$; $\varphi$

Centrar fórmulas complejas:

$$\left|{1\over N}\sum_{n=1}^N \gamma(u_n)-{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\gamma(t){\rm d}t\right| \le {\varepsilon\over 3$$

$$\pi = \int_{0}^{1} \frac{4}{1+x^{2}}$$

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SIMBOLOS MATEMATICOS

Los siguientes símbolos, se utilizan universalmente en la escritura de documentos científicos y matemáticos:

• $\prec$ Es menor que

• $\succ$ Es mayor que

• $\leq$ Es menor o igual que

• $\geq$ Es mayor o igual que

• $\neq$ Es distinto de

• $\approx$ Es equivalente a

• $\sim$ Es semejante a

• $\subset$ Contenido en

• $\in{}$ Pertenece a

• $\notin$ No pertenece a

• $\forall{}$ Para todo

• $\exists{}$ Existe

• $\Rightarrow $ Implica

• $\Leftrightarrow $ Si y sólo si (Doble implicación)

• $\cup$ Unión entre conjuntos

• $\cap$ Intersección entre conjuntos

Una descripción más detallada en El origen de los signos matematicos

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ALFABETO GRIEGO

$\alpha\qquad alfa$

$\beta \qquad beta$

$\gamma\qquad gama$

$\delta\qquad delta$

$\epsilon\qquad epsilon$

$\zeta\qquad zeta$

$\eta\qquad eta$

$\theta\qquad teta$

$\iota\qquad iota$

$\kappa\qquad kapa$

$\lambda\qquad lambda$

$\mu\qquad mi$

$\nu\qquad ni$

$\xi\qquad xi$

$\pi\qquad pi$

$\rho\qquad ro$

$\sigma\qquad sigma$

$\tau\qquad tau$

$\upsilon\qquad ipsilon$

$\phi\qquad fi$

$\chi\qquad ji$

$\psi\qquad psi$

$\omega\qquad omega$

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IMPORTANCIA DE LAS MATEMATICAS

"La naturaleza es un libro abierto y el lenguaje en que está escrito es el de las matemáticas": Galileo.

Entonces, matemáticas...¿para qué? 

Esa interrogante la hemos hecho o escuchado muchas veces, observando diversas respuestas en disciplinas y áreas conocidas de la vida cotidiana. 

Notamos, por citar algunos, su presencia en los últimos adelantos científicos, en la economía y la física, en la conquista del espacio, en el desarrollo de la era de las comunicaciones y la informática, pero tambien en los estudios de biomedicina tal como el genoma humano, o para enteder el comportamiento climático sobre un ecosistema. Su estudio y aplicabilidad es fundamental en el desarrollo sustentable del mundo, pero además, del pensamiento logico del ser humano, con el objetivo primordial de capacitarlo en la resolución de problemas laborales y personales, para la vida.

Nos paseamos entonces por las estructuras matemáticas para conocer los números, las formas, los algoritmos, las funciones, relaciones y los datos.

Asimismo, nos adentramos en los atributos, y reconocemos lo lineal, lo discreto y continuo, lo simétrico, máximo o mínimo, o lo aproximado de los entes matemáticos.

Utilizamos simbolos, equivalencias, lógica, clases y categorías, para poder realizar abstracciones de los fenómenos modelados matemáticamente, con el objeto de poder descomponerlos en cada uno de sus partes, para analizarlos y reconstruirlos con funcionalidades óptimas y de aprovechamiento colectivo.

Es así como se logra entender la realidad y maravillarse de tanta aplicabilidad, aunque, durante este proceso, nos movemos entre la estabilidad y el caos, la convergencia y la bifurcación, interacciones y oscilaciones.

Finalmente, vale la pena adentrarnos en este mundo e intentar responder la interrogante ¿Para qué sirven las matemáticas?

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2011 ES UN NUMERO PRIMO

Un número natural es primo si y solo si es divisible por sí mismo y por la unidad. Los siguientes son los los primeros números primos:

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...$

Curiosamente, el 2011 es la suma de los siguientes números que también son primos y consecutivos: 

2011= 153+163+167+173+179+181+191+193+197+199+211

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FELIZ Y VENTUROSO AÑO 2011.

Un saludo a todos los visitantes y seguidores, es propicia la ocasión para desearles un Feliz y Venturoso año 2011.  Haciéndole honra a este Blog, utilicemos los números del 0 al 9.

FELIZ

$7^0 + 1^9 + 2^8 + 3^6 + 4^5$=2011

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