Un Feliz y Venturoso año 2012. Por cierto, el año 2012 es bisiesto. El año bisiesto se introdujo para sincronizar nuestro calendario y el movimiento orbital en Roma, bajo el mando de Julio César, asesorado por el matemático y astrónomo Sosígenes de Alejandría. César decidió que, en el calendario juliano (llamado así en su honor), uno...

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FACTORIZACIÓN (Parte III)

Se recomienda ver también: Factorización (Parte I)  Factorización (Parte II) FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS Caso 1: Utilización de producto notable 1En este caso, el polinomio se puede expresar como el producto de los binomios $x+a$ y $x+b$, siempre que cumplan las siguientes condiciones para los números "$a$" y "$b$", descritas en el siguiente ejemplo:  Sea el trinomio  $x^2+3x-28$. Veamos...

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FACTORIZACIÓN (Parte II)

FACTORIZACIÓN POR UN FACTOR MONOMIAL COMÚN. Este método consiste en expresar el polinomio como producto de un factor monomial común utilizando la propiedad distributiva.  En este caso, el polinomio puede escribirse como el producto del factor monomial común y el cociente de dividir el polinomio dado entre el factor común. Por ejemplo, "$a$" es el factor monomial común de cada uno de los términos...

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FACTORIZACIÓN (Parte I)

La factorización es el proceso matemático que consiste en expresar un número (o un objeto como una matriz o un polinomio)  como producto de otros números u objetos llamados factores, tal que el producto de los factores resulte el numero (objeto) original. El Teorema fundamental de la aritmética describe la factorización de los números enteros, mientras que el Teorema Fundamental del álgebra explica...

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PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables, son aquellos productos de polinomios que por su estructura son de inmediato reconocimiento y es posible conocer el resultado sin necesidad de efectuar la operación de multiplicación. Estos productos especiales son de utilidad para el proceso de factorización de polinomios.    Llamaremos variables a las letras "$x$" y "$y$", mientras que "$a$", "$b$" y "$c$" son constantes. PRODUCTO...

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TEOREMAS DE LIMITE

Sea $f$ una función definida en un intervalo $I\subset R$, tal que $a\in I$. Teorema 1. (Funciones iguales). Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L$ y $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=M$, entonces $L=M$. Teorema 2. Si $m$ y $b$ son dos constantes cualquiera, entonces $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{(mx+b)}=m.a+b$ Teorema 3.(Límite de una constante) $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{c}=c$, para cualquier real $a$,...

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DEFINICION FORMAL DEL CONCEPTO DE LIMITE

En una oportunidad se revisó la idea intuitiva del concepto de límite. En el ejemplo, se analizó el comportamiento de la función $f$ definida por $$f(x)=\frac{2x^2+x-3}{x-1}$$ en torno al valor $x=1$, vale decir, "cercanos a 1", pero "no iguales a 1". En resumen: Se observó la posibilidad de hacer que el valor de $f(x)$ se aproxime a...

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APROXIMACION GRAFICA DEL CONCEPTO DE LIMITE

En las siguientes gráficas, se puede observar que para calcular $\displaystyle\lim_{x \to{c}}{f(x)}$, es decir, el limite de una función $f(x)$, cuando $x$ tiende al valor c, no es necesario que la función esté o no definida en c, lo que interesa es que $f$ esté definida en las cercanías de $c$. Caso 1.La función $f$ está definida...

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IDEA INTUITIVA DEL CONCEPTO DE LIMITE

En este apartado, se presentará intuitivamente el concepto de límite evaluando la función real de variable real cerca de un punto. Considere la función f definida por: $$f(x)=\frac{2x^2+x-3}{x-1}$$ Se observa que la función está definida para todo número real, excepto para $x=1$ Interesa observar el comportamiento de la función $f$ para...

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GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMICA

FUNCIÓN LOGARITMICA. La función logaritmica se define como $f(x)=log_a(x)$, donde $"a"$ es la base, y es un número real mayor que la unidad, esto es $a\in{\mathbb{R}}, \:\: a\succ 1$ $Dom_f=\mathbb{R}^+$. $Rgo_f=\mathbb{R}$. Su representación gráfica depende del valor de $"a"$, para lo cual se distinguen dos casos:i) $0<a<1$...

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GRAFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

FUNCIÓN EXPONENCIAL. La función exponencial se define como $f(x)=a^x$, donde $"a"$ es un número real positivo distinto de de la unidad, esto es $a\in{\mathbb{R}}, \:\: a\neq 1, \:\: a\succ {0}$ $Dom_f=\mathbb{R}$. $Rgo_f=\mathbb{R}^+$. Su representación gráfica depende del valor de $"a"$, para lo cual se distinguen dos casos:i) $0<a<1$...

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GRAFICA DE LA FUNCION RAIZ CUADRADA

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA. La función raíz cuadrada se define como $f(x)=\sqrt[]{a}$ $Dom_f=\mathbb{R}^+\cup\left\{{0}\right\}$. $Rgo_f=\mathbb{R}^+\cup\left\{{0}\right\}$.  Su representación gráfica es como la siguiente: ...

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GRAFICA DE LA FUNCION VALOR ABSOLUTO

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. La función valor absoluto se define como $f(x)=\left |{\:x\:}\right |$, donde $$f(x)= \left\{ \begin{array}{} x, x\geq 0\\ -x, x\prec{0}\end{array}{}\right$$ El dominio de definición es el conjunto de los números reales. El rango de f corresponde al conjunto de los números reales no negativos, vale decir,...

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GRAFICA DE LA FUNCION CUADRATICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA. La función cuadrática se define como $f(x)=ax^2+bx+c$, donde $a,\:b,\:c\in{\mathbb{R}, \:a\neq{0}}$ El dominio de definición es el conjunto de los números reales.  Su representación gráfica es una parábola con eje vertical y vértice  $$\left({h,k}\right)=\left({-\frac{b}{2a},\:c-\frac{b^2}{4a}}\right)$$ . Si...

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TECNICA PARA GRAFICAR FUNCIONES ELEMENTALES

Trazar la gráfica de una función, consiste en mostrar las características esenciales de la función en un plano coordenado. Generalmente, se localizan algunos puntos que determinan su representación gráfica. Pasos para trazar la gráfica de una función: Identificar el tipo de función. Determinar el dominio de la función. Determinar el corte con el eje $x$. Para esto, se resuelve la ecuación $y=f(x)$, considerando $y=0$.Esto...

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GRAFICA DE LA FUNCION LINEAL

FUNCIÓN LINEAL. La función $f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}$ definida como:$f(x)=ax+b$, donde $a, b\in{\mathbb{R},\:a\neq{0}}$, se denomina función lineal o afín. Tanto el dominio como el rango de definición, de $f$, es el conjunto de los números reales. Su representación gráfica es una línea recta oblicua cuya inclinación depende...

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COORDENADAS RECTANGULARES

PRODUCTO CARTESIANO. Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos. Llamaremos producto cartesiano de $A$ y $B$, denotado por $A\times{B}$, al conjunto cuyos elementos son de la forma (a,b), tal que $a\in A$, $b\in B$. En símbolos:$A\times{B}=\left\{{\left(a,b\right): a\in A, b\in B}\right\}$ Supongase que $A={1,2,3}$ y $B={1,2}$. El producto...

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GRAFICA DE FUNCIONES

GRÁFICA DE FUNCIONES. La representación gráfica de una función f, se fundamenta en el concepto de función como el conjunto de pares ordenados de números reales. Basados en esta definición, se puede decir que:  Si $f$ es una función, entonces, la grafica de $f$ es el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ en $\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}$...

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